أهداف التعلم

• أن يوضح الطالب مفهوم النسبة بين كميتين من نفس النوع.
• أن يعرّف الطالب التناسب باعتباره تساوي نسبتين.
• أن يميز الطالب بين الحدين الطرفين والحدين الوسطين في التناسب.
• أن يستخدم الطالب خاصية الضرب التبادلي لحل مسائل التناسب.
• أن يحدد الطالب ما إذا كانت كميتان متناسبتين من جدول أو من تمثيل بياني.

شرح الدرس

مفهوم النسبة

النسبة بين كميتين $a, b$ (من نفس النوع ونفس الوحدة، $b \neq 0$) هي مقارنة بينهما بالقسمة، وتُكتب في الصورة:

أو في صورة كسر:

فمثلًا إذا كان عدد الطالبات في فصل 12 وعدد الطلاب 18، فإن النسبة بين عدد الطالبات وعدد الطلاب هي $12:18$، ويمكن اختصارها بالقسمة على القاسم المشترك الأكبر لتصبح $2:3$.

يجب أن تكون الكميتان من نفس النوع حتى تكون المقارنة بينهما ذات معنى (مثل مقارنة طول بطول، أو عدد بعدد)، ولا معنى لمقارنة كمية بأخرى مختلفة النوع دون توضيح.

تعريف التناسب

التناسب هو تساوي نسبتين، أي أنه إذا كانت النسبة بين $a, b$ تساوي النسبة بين $c, d$ فإننا نكتب:

ويُقرأ: $a$ إلى $b$ كما $c$ إلى $d$. ويسمى هذا التعبير تناسبًا، ويُطلق على $a, d$ اسم الحدين الطرفين، وعلى $b, c$ اسم الحدين الوسطين.

خاصية الضرب التبادلي (حاصل ضرب الطرفين يساوي حاصل ضرب الوسطين)

في أي تناسب $a:b = c:d$ يتحقق دائمًا أن:

أي أن حاصل ضرب الحدين الطرفين يساوي حاصل ضرب الحدين الوسطين. وتُستخدم هذه الخاصية بكثرة لحل التناسبات التي يكون فيها أحد الحدود مجهولًا؛ فإذا كتبنا التناسب في صورة كسور متساوية:

فإن ضرب طرفي المعادلة في $b \times d$ يعطي النتيجة نفسها $a \times d = b \times c$، ولذلك تسمى هذه الطريقة “الضرب التبادلي”.

التحقق من التناسب

للتحقق من أن أربعة أعداد $a, b, c, d$ تكوّن تناسبًا، نتحقق من تساوي حاصل ضرب الطرفين مع حاصل ضرب الوسطين:

• إذا كان $a \times d = b \times c$ فإن $a:b = c:d$ (الأعداد متناسبة).
• إذا لم يتحقق ذلك، فالأعداد غير متناسبة.

تحديد التناسب من جدول أو تمثيل بياني

إذا أعطيت جدولًا يربط بين كميتين، فاحسب النسبة بينهما في كل عمود؛ فإذا كانت النسبة ثابتة في كل الأعمدة كانت الكميتان متناسبتين.

هنا $\frac{6}{1} = \frac{12}{2} = \frac{18}{3} = \frac{24}{4} = 6$، فالمسافة تتناسب مع الزمن.

وعند تمثيل الأزواج المرتبة $(1, 6)$ و$(2, 12)$ و$(3, 18)$ و$(4, 24)$ في المستوى الإحداثي:

• إذا وقعت النقاط على خط مستقيم يمر بنقطة الأصل $(0, 0)$ فالكميتان متناسبتان.
• إذا وقعت على خط مستقيم لا يمر بنقطة الأصل، أو على منحنى، فالكميتان غير متناسبتين.

حل مسائل التناسب بحد مجهول

عندما يكون أحد حدود التناسب مجهولًا (ليكن $x$)، نكتب التناسب في صورة كسرين متساويين، ثم نستخدم الضرب التبادلي للحصول على معادلة بسيطة في $x$، ثم نحلها بالقسمة على معامل $x$.

أسئلة للتدريب

• أوجد قيمة $x$ إذا كان $\frac{x}{5} = \frac{18}{15}$.
• هل الأعداد 3, 5, 9, 15 تكوّن تناسبًا؟ وضح إجابتك بحساب حاصل ضرب الطرفين والوسطين.
• هل الكميتان في الجدول (عدد الكراسات: 1، 2، 5) و(الثمن بالجنيه: 12، 24، 60) متناسبتان؟ علل.
• إذا كانت النسبة بين طول مستطيل وعرضه $5:2$، وكان عرضه 8 سم، فما طوله؟
• تقطع سيارة 320 كيلومترًا في 4 ساعات بسرعة ثابتة، فكم ساعة تحتاج لقطع 480 كيلومترًا؟
• إذا كان $\frac{7}{x} = \frac{21}{30}$، فأوجد قيمة $x$.