المحتوى الرئيسي

التغير الطردي (Direct Variation)

يُقال إن $y$ تتغير طرديًا مع $x$ إذا كانت النسبة بينهما ثابتة، أي إذا وُجد عدد ثابت $k \neq 0$ (يسمى ثابت التغير) بحيث: $y = kx \quad \text{أو} \quad \frac{y}{x} = k \ (\text{ثابت})$

فكلما زادت $x$ زادت $y$ بنفس المعدل (وكلما قلّت $x$ قلّت $y$)، أي أن الزيادة في أحد المتغيرين تقابلها زيادة بنفس النسبة في الآخر.

التمثيل البياني: العلاقة $y=kx$ خط مستقيم يمر بنقطة الأصل $(0,0)$، وميله يساوي ثابت التغير $k$.

التغير العكسي (Inverse Variation)

يُقال إن $y$ تتغير عكسيًا مع $x$ إذا كان حاصل ضربهما ثابتًا، أي إذا وُجد عدد ثابت $k \neq 0$ بحيث: $y = \frac{k}{x} \quad \text{أو} \quad x \times y = k \ (\text{ثابت}) \ , \ x \neq 0$

فكلما زادت $x$ قلّت $y$ بنفس المعدل، والعكس صحيح، بحيث يظل حاصل ضربهما ثابتًا دائمًا.

التمثيل البياني: العلاقة $y = \dfrac{k}{x}$ منحنى يسمى القطع الزائد (hyperbola)، ولا يمر بنقطة الأصل ولا يتقاطع مع أي من المحورين.

إيجاد ثابت التغير

في كلتا الحالتين، إذا عُلم زوج من القيم المتناظرة $(x_1, y_1)$، يمكن إيجاد ثابت التغير $k$ بالتعويض:

• في التغير الطردي: $k = \dfrac{y_1}{x_1}$
• في التغير العكسي: $k = x_1 \times y_1$

وبمجرد إيجاد $k$، يمكن استخدام نفس القانون ($y=kx$ أو $y=\dfrac{k}{x}$) لإيجاد أي قيمة مجهولة أخرى.

طريقة أخرى لحل مسائل التغير (باستخدام زوجين من القيم)

إذا كان لدينا زوجان من القيم $(x_1,y_1)$ و $(x_2,y_2)$:

• في التغير الطردي: $\dfrac{y_1}{x_1} = \dfrac{y_2}{x_2}$ (لأن النسبة ثابتة).
• في التغير العكسي: $x_1 y_1 = x_2 y_2$ (لأن حاصل الضرب ثابت).

أمثلة تطبيقية شائعة

• التغير الطردي: المسافة مع الزمن عند سرعة ثابتة، تكلفة الأشياء المتماثلة مع عددها، محيط المربع مع طول ضلعه.
• التغير العكسي: الزمن اللازم لإنجاز عمل مع عدد العمال (بافتراض نفس الكفاءة)، السرعة مع الزمن لقطع مسافة ثابتة.

أسئلة للمراجعة

• إذا كانت $y$ تتغير طرديًا مع $x$، وكان $y=24$ عندما $x=4$، أوجد قيمة $x$ عندما $y=42$.
• إذا كانت $y$ تتغير عكسيًا مع $x$، وكان $y=5$ عندما $x=12$، أوجد قيمة $y$ عندما $x=20$.
• سيارة تقطع مسافة معينة في $4$ ساعات بسرعة $90$ كم/س. ما السرعة اللازمة لقطع نفس المسافة في $3$ ساعات؟
• بيّن بالتمثيل البياني الفرق بين شكل منحنى التغير الطردي وشكل منحنى التغير العكسي.