ملخص الازدواجات — ثالثة ثانوي

مقدمة

المادة: تطبيقات الرياضيات (الميكانيكا)
الشعبة: علمي رياضة
الوحدة: الوحدة الثالثة: الازدواجات

حين تدير عجلة قيادة السيارة بيديك، تدفع إحدى اليدين لأعلى وتسحب الأخرى لأسفل بالمقدار نفسه. ليس هناك محصلة تنقل العجلة من مكانها، لكنها تدور! لقد رأينا في الوحدة السابقة أن محصلة قوتين متوازيتين متضادتين غير متساويتين قوة واحدة، فماذا يحدث إذا تساوتا في المقدار؟ يظهر مفهوم جديد في الاستاتيكا هو الازدواج.

أهداف التعلم

تعرّف الازدواج وتحسب عزمه.
تثبت أن عزم الازدواج ثابت لا يتوقف على النقطة التي يُحسب بالنسبة لها.
تتعرف تكافؤ ازدواجين وتستنتج الشروط التي لا تغيّر أثر الازدواج.
تحل مسائل اتزان جسم متماسك تحت تأثير ازدواجين مستويين أو أكثر.

شرح الدرس

مفهوم الازدواج

الازدواج نظام قوى يتكوّن من قوتين متساويتين في المعيار، متضادتين في الاتجاه، ولا يجمعهما خط عمل واحد. المسافة العمودية $L$ بين خطي عملهما تسمى ذراع الازدواج. محصلة قوتي الازدواج صفر، ومع ذلك فهو يُحدث دورانًا؛ لذلك لا يمكن أن تعادله قوة واحدة.

عزم الازدواج

عزم الازدواج هو مجموع عزمي قوتيه بالنسبة لأي نقطة في الفراغ، ومعياره حاصل ضرب معيار إحدى القوتين في ذراع الازدواج:

G = F \times L

وفي مستوى الازدواج يكون له قياس جبري موجب إذا دار الازدواج عكس عقارب الساعة وسالب إذا دار معها. وبصورة متجهة: إذا كانت $\vec{F}$ القوة المؤثرة في $A$ و $-\vec{F}$ المؤثرة في $B$ فإن عزم الازدواج $\vec{M} = \overrightarrow{BA} \times \vec{F}$ .

ازدواج قوتين متساويتين متضادتين وذراعه L، وازدواجان مختلفان في القوة والذراع لهما العزم نفسه

عزم الازدواج مقدار ثابت

لنأخذ النقطة $O$ في الفراغ. مجموع عزمي القوتين حولها $\vec{M} = \overrightarrow{OA}\times\vec{F} + \overrightarrow{OB}\times(-\vec{F}) = (\overrightarrow{OA} - \overrightarrow{OB})\times\vec{F} = \overrightarrow{BA}\times\vec{F}$ . هذه النتيجة لا تحوي $O$ ، أي أن عزم الازدواج لا يتوقف على موضع النقطة، وهذا ما يميزه عن عزم القوة الواحدة.

تكافؤ ازدواجين

يتكافأ ازدواجان مستويان إذا تساوى القياسان الجبريان لمتجهي عزميهما. ولذلك لا يتغير تأثير الازدواج على الجسم إذا:

أُزيح إلى موضع آخر في مستواه أو إلى مستوى موازٍ،
أُدير في مستواه،
غُيّرت $F$ و $L$ مع بقاء حاصل ضربهما ثابتًا.

اتزان جسم تحت تأثير ازدواجين أو أكثر

يتزن جسم متماسك تحت ازدواجات مستوية إذا كان مجموع عزومها المتجهة الصفر. وبالقياس الجبري: مجموع القياسات الجبرية لعزوم الازدواجات يساوي صفرًا. أما قوة واحدة فلا تعادل ازدواجًا، لذلك لا يتزن ازدواج وحده إلا بازدواج آخر.

تعريفات

الازدواج: نظام قوى من قوتين متساويتين معيارًا، متضادتين اتجاهًا، ليس لهما خط عمل واحد.
ذراع الازدواج: البعد العمودي بين خطي عمل قوتيه.
عزم الازدواج: حاصل ضرب إحدى القوتين في ذراع الازدواج، وهو ثابت.
تكافؤ ازدواجين: تساوي عزميهما قياسًا جبريًا (معيارًا واتجاه دوران).

أمثلة وتطبيقات

مثال 1: عجلة قيادة قطرها $40$ سم، تؤثر في طرفي قطر فيها قوتان مقدار كل منهما $25$ نيوتن متضادتان ومماستان للعجلة. أوجد معيار عزم الازدواج.

الحل: ذراع الازدواج هو القطر $0.4$ م، فيكون $G = 25 \times 0.4 = 10$ نيوتن.متر.

مثال 2 (ثبات العزم): تؤثر $\vec{F}_1 = (0, 5)$ نيوتن في $A(4, 0)$ و $\vec{F}_2 = (0, -5)$ في $B(1, 0)$ . أوجد مجموع عزميهما حول $O(0, 0)$ ، ثم حول $P(2, 2)$ .

الحل: حول $O$ : $4 \times 5 + 1 \times (-5) = 15$ . حول $P$ : للأولى $\vec{r} = (2, -2)$ فعزمها $2 \times 5 - (-2) \times 0 = 10$ ، وللثانية $\vec{r} = (-1, -2)$ فعزمها $(-1)(-5) - (-2)(0) = 5$ ، والمجموع $15$ . القيمتان متساويتان؛ وهي $F \times L = 5 \times 3$ حيث $AB = 3$ .

مثال 3 (بالمركبات): القوتان $\vec{F}_1 = (2, 3)$ نيوتن في $A(1, -1)$ و $\vec{F}_2 = (-2, -3)$ نيوتن في $B(3, 1)$ تكوّنان ازدواجًا. أوجد عزمه.

الحل: $\vec{F}_2 = -\vec{F}_1$ فهما ازدواج. العزم $= \overrightarrow{BA}\times\vec{F}_1$ حيث $\overrightarrow{BA} = (-2, -2)$ ، فـ $(-2)(3) - (-2)(2) = -6 + 4 = -2$ نيوتن.متر، أي بمعيار $2$ ودورانًا مع عقارب الساعة. أما ذراع الازدواج فيساوي $L = \dfrac{|G|}{F} = \dfrac{2}{\sqrt{13}} \approx 0.55$ م، حيث $F = \sqrt{2^2 + 3^2} = \sqrt{13}$ .

مثال 4 (اتزان ازدواجين): يتزن جسم تحت تأثير ازدواجين: الأول قوتاه $15$ نيوتن وذراعه $0.4$ م ويدور مع عقارب الساعة، والثاني ذراعه $0.25$ م ويدور عكسها. أوجد القوة في الازدواج الثاني.

الحل: عزم الأول $-15 \times 0.4 = -6$ . لكي يتزن الجسم يجب أن يكون عزم الثاني $+6$ ، فـ $F \times 0.25 = 6$ ومنها $F = 24$ نيوتن.

مثال 5 (تكافؤ): ازدواج قوتاه $30$ نيوتن وذراعه $0.2$ م. أوجد قوتي ازدواج يكافئه ذراعه $0.5$ م.

الحل: العزم $30 \times 0.2 = 6$ نيوتن.متر، فيكون $F \times 0.5 = 6$ ومنها $F = 12$ نيوتن.

ملاحظات مهمة

يشترط أن يكون خطا القوتين مختلفين؛ إن انطبقا فالمحصلة صفر والعزم صفر ولا ازدواج.
عزم الازدواج مقدار ثابت، أما عزم القوة الواحدة فيتغير بتغير نقطة الحساب.
قوتا الازدواج لا تُحدثان انتقالًا، لأن مجموعهما صفر، بل دورانًا فقط.
عند جمع ازدواجات في مستوى واحد نضيف قياساتها الجبرية مع مراعاة إشارة الدوران.

المفاهيم الأساسية

الازدواج: قوتان متساويتان معيارًا، متضادتان، لا يجمعهما خط عمل.
$G = F\times L$ وهو ثابت لا يتوقف على النقطة.
متجه عزم الازدواج $\overrightarrow{BA}\times\vec{F}$ .
ازدواجان متكافئان إذا تساوى قياساهما الجبريان.
اتزان ازدواجات مستوية: مجموع قياساتها الجبرية صفر.

ملخص الدرس

الازدواج نظام قوتين متساويتين ومتضادتين ليستا على خط واحد، لا محصلة له لكنه يُحدث دورانًا. عزمه $F\times L$ ثابت أينما حُسب. ويتكافأ ازدواجان بتساوي العزمين، فيمكن نقل الازدواج أو تدويره أو تغيير قوته وذراعه معًا مع بقاء حاصل ضربهما. وتتزن مجموعة ازدواجات مستوية بانعدام مجموع عزومها.

أسئلة للتدريب

أوجد عزم ازدواج قوتاه $12$ نيوتن وذراعه $50$ سم بوحدة نيوتن.متر.
تؤثر قوتان مقدار كل منهما $8$ نيوتن، متضادتان ومتوازيتان، المسافة بين خطي عمليهما $0.3$ م. هل يتزن الجسم بإضافة قوة واحدة؟ فسّر.
ازدواج عزمه $18$ نيوتن.متر مع عقارب الساعة. ما ازدواج قوتاه $9$ نيوتن الذي يتزن معه؟ حدد ذراعه واتجاه دورانه.
بيّن لماذا لا يتغير عزم الازدواج إذا حُسب بالنسبة لنقطة بين خطي عمل قوتيه أو خارجهما.