ملخص تفاضل وتكامل الدوال المتجهة — ثالثة ثانوي

مقدمة

المادة: تطبيقات الرياضيات (الميكانيكا)
الشعبة: علمي رياضة
الوحدة: الوحدة الأولى: الحركة في خط مستقيم

عداد سرعة السيارة يبين سرعتها الآن لا متوسط سرعتها في الرحلة. وهذا الفرق بين «المتوسط» و«اللحظي» هو بالضبط الفرق بين نسبة تغير وبين المشتقة. في هذا الدرس نصف حركة جسم على مستقيم بدالة في الزمن، ونحصل منها على السرعة والعجلة بالتفاضل، ونعود من العجلة إلى السرعة والموضع بالتكامل.

أهداف التعلم

تفرّق بين متجه الموضع والإزاحة والمسافة، وبين السرعة المتوسطة واللحظية.
تستنتج السرعة والعجلة من دالة الموضع بالتفاضل، وتستنتج الإزاحة والسرعة بالتكامل.
تحدد متى تكون الحركة متسارعة أو تقصيرية، وتحلل الحركة بمنحنيات الموضع والسرعة مع الزمن.
تحسب المسافة المقطوعة بالتكامل (القيمة المطلقة للسرعة).
تحدد العجلة عندما تكون السرعة دالة في الموضع باستخدام قاعدة السلسلة.

شرح الدرس

الموضع والإزاحة والمسافة

يتحرك الجسم على مستقيم نختار عليه نقطة أصل وطول وحدة واتجاهًا موجبًا $\hat{\imath}$ . متجه الموضع $\vec{x}(t) = x(t)\,\hat{\imath}$ . متجه الإزاحة هو التغير في الموضع:

\Delta\vec{x} = \vec{x}(t_2) - \vec{x}(t_1)

أما المسافة فكمية قياسية تساوي طول المسار فعليًا، ولا تقل عن معيار الإزاحة، وتساويه فقط إذا لم يغير الجسم اتجاه حركته.

السرعة والعجلة

السرعة المتوسطة في الفترة $[t_1, t_2]$ : $\vec{v}_{avg} = \dfrac{\Delta\vec{x}}{\Delta t}$ ، وهي ميل القاطع في منحنى الموضع–الزمن.
السرعة اللحظية: $\vec{v} = \dfrac{d\vec{x}}{dt}$ ، وهي ميل المماس لمنحنى الموضع–الزمن، ومعيارها هو مقدار السرعة.
متوسط مقدار السرعة هو المسافة المقطوعة مقسومة على الزمن المستغرق.
العجلة المتوسطة $\dfrac{\Delta\vec{v}}{\Delta t}$ ، والعجلة اللحظية $\vec{a} = \dfrac{d\vec{v}}{dt} = \dfrac{d^2\vec{x}}{dt^2}$ ، وهي ميل المماس لمنحنى السرعة–الزمن.

وبالعكس: $\vec{v}(t) = \vec{v}_0 + \int_0^t \vec{a}\,dt$ و $\Delta\vec{x} = \int_{t_1}^{t_2}\vec{v}\,dt$ . أما المسافة فهي $\int_{t_1}^{t_2}|v|\,dt$ ، وتساوي المساحة بين منحنى السرعة ومحور الزمن (المساحة تحت المحور تُحسب موجبة).

منحنيا الموضع–الزمن والسرعة–الزمن لجسم مقذوف رأسيًا مع المساحتين فوق المحور وتحته

متى تكون الحركة متسارعة أو تقصيرية؟

متسارعة: إذا كان $v\cdot a > 0$ (للسرعة والعجلة الإشارة نفسها) فيزداد مقدار السرعة.
تقصيرية (تباطؤ): إذا كان $v\cdot a < 0$ فيتناقص مقدار السرعة.
عندما تنعدم السرعة لحظيًا مع بقاء العجلة غير صفرية فإن الجسم يغير اتجاه حركته.

العجلة عندما تكون السرعة دالة في الموضع

إذا كانت $v = f(x)$ فبقاعدة السلسلة:

a = \frac{dv}{dt} = \frac{dv}{dx}\cdot\frac{dx}{dt} = v\,\frac{dv}{dx}

وبالعكس إذا كانت $a = g(x)$ فإن $v\,dv = a\,dx$ ، ومنها:

\int_{v_0}^{v} v\,dv = \int_{x_0}^{x} a\,dx \quad \Longrightarrow \quad v^2 = v_0^2 + 2\int_{x_0}^{x} a\,dx

وللعجلة الثابتة: $v^2 = v_0^2 + 2a\,\Delta x$ .

تعريفات

متجه الموضع: متجه من نقطة الأصل إلى موضع الجسم، $\vec{x}(t)$ .
الإزاحة: التغير في متجه الموضع بين لحظتين.
السرعة اللحظية: مشتقة متجه الموضع بالنسبة للزمن.
العجلة اللحظية: مشتقة متجه السرعة بالنسبة للزمن.

أمثلة وتطبيقات

مثال 1: يتحرك جسم على مستقيم بحيث $x = t^3 - 9t^2 + 24t$ (بالمتر والثانية). أوجد لحظتي سكونه اللحظي والعجلة عندهما، والمسافة والإزاحة والسرعة المتوسطة في $[0, 4]$ .

الحل: $v = 3t^2 - 18t + 24 = 3(t-2)(t-4)$ ، فتنعدم السرعة عند $t = 2$ و $t = 4$ . $a = 6t - 18$ فـ $a(2) = -6$ و $a(4) = +6$ م/ث². $x(2) = 8 - 36 + 48 = 20$ و $x(4) = 64 - 144 + 96 = 16$ . الجسم يتحرك للأمام حتى $20$ ثم يرجع إلى $16$ : المسافة $20 + 4 = 24$ م، والإزاحة $16$ م، والسرعة المتوسطة $\dfrac{16}{4} = 4$ م/ث، ومتوسط مقدار السرعة $\dfrac{24}{4} = 6$ م/ث.

مثال 2 (من العجلة إلى الموضع): يبدأ جسم الحركة من السكون عند نقطة الأصل بعجلة $a = 4 - 6t$ م/ث². أوجد السرعة والموضع، ولحظة تغير الاتجاه، والمسافة حتى يعود لنقطة البدء.

الحل: $v = \int (4 - 6t)\,dt = 4t - 3t^2$ (لأن $v(0) = 0$ )، و $x = 2t^2 - t^3$ . تنعدم $v$ عند $t = \dfrac{4}{3}$ ثانية، وهي لحظة تغير الاتجاه، وعندها $x = \dfrac{32}{27}$ م. يعود إلى الأصل عندما $x = 0$ أي $t = 2$ . المسافة $2 \times \dfrac{32}{27} = \dfrac{64}{27} \approx 2.37$ م.

مثال 3 (قذف رأسي): قُذف حجر رأسيًا لأعلى بسرعة $29.4$ م/ث، فكان ارتفاعه $x = 29.4t - 4.9t^2$ . أوجد أقصى ارتفاع، ولحظتي بلوغه ارتفاع $24.5$ م وسرعته عندهما.

الحل: $v = 29.4 - 9.8t = 0$ عند $t = 3$ ، فأقصى ارتفاع $x(3) = 88.2 - 44.1 = 44.1$ م. $29.4t - 4.9t^2 = 24.5$ تعطي $t^2 - 6t + 5 = 0$ أي $t = 1$ أو $t = 5$ . السرعة $v(1) = 19.6$ م/ث لأعلى، و $v(5) = -19.6$ م/ث أي بالمقدار نفسه لأسفل.

مثال 4 (السرعة دالة في الموضع): تتحرك نقطة على مستقيم بسرعة $v = 4 - x^2$ . أوجد عجلتها عندما $x = 1$ .

الحل: $a = v\dfrac{dv}{dx} = (4 - x^2)(-2x)$ ، فعند $x = 1$ : $a = 3 \times (-2) = -6$ وحدة عجلة. وعند $x = 2$ تنعدم السرعة والعجلة معًا.

مثال 5 (من العجلة بدلالة الموضع): جسم يبدأ من السكون عند $x = 0$ وعجلته $a = 6 - 2x$ . أوجد $v^2$ بدلالة $x$ وأقصى سرعة.

الحل: $\displaystyle\int_0^v v\,dv = \int_0^x (6 - 2x)\,dx$ فـ $\dfrac{v^2}{2} = 6x - x^2$ أي $v^2 = 12x - 2x^2$ . أكبر قيمة عند $x = 3$ (حيث $a = 0$ ): $v^2 = 18$ و $v = 3\sqrt{2} \approx 4.24$ وحدة سرعة.

ملاحظات مهمة

المسافة ≠ الإزاحة: إذا تغيّرت إشارة السرعة في الفترة فقسّم الفترة عند لحظة انعدام السرعة قبل حساب المسافة.
انعدام العجلة لا يعني انعدام السرعة، وانعدام السرعة لا يعني انعدام العجلة (مثل أعلى نقطة في القذف الرأسي).
عند استخدام $v^2 = v_0^2 + 2a\Delta x$ تأكد أن العجلة ثابتة؛ وإلا فكامل $\int a\,dx$ .
لا تنس ثابت التكامل: يُعيَّن من الشرط الابتدائي ( $v_0$ أو $x_0$ ).

المفاهيم الأساسية

$\vec{v} = \dfrac{d\vec{x}}{dt}$ و $\vec{a} = \dfrac{d\vec{v}}{dt}$ ولكليهما تكامل عكسي.
الإزاحة $\int v\,dt$ والمسافة $\int |v|\,dt$ .
حركة متسارعة إذا $v\cdot a > 0$ وتقصيرية إذا $v\cdot a < 0$ .
$a = v\,\dfrac{dv}{dx}$ و $v^2 = v_0^2 + 2\int a\,dx$ .

ملخص الدرس

نصف الحركة الخطية بالموضع $x(t)$ ، ومنه نحصل على السرعة بالاشتقاق ثم العجلة باشتقاق ثانٍ، ونعود إلى السرعة والموضع بالتكامل مع تعيين الثابت من الشروط الابتدائية. الإزاحة هي تكامل السرعة والمسافة هي تكامل مقدارها. وتحدد إشارة حاصل ضرب السرعة والعجلة هل الحركة متسارعة أم تقصيرية. وإذا أُعطيت السرعة أو العجلة بدلالة الموضع استعملنا $a = v\,dv/dx$ .

أسئلة للتدريب

يتحرك جسم بحيث $x = 2t^3 - 15t^2 + 36t$ م. أوجد لحظتي انعدام سرعته وعجلته عند كل منهما.
تعطى سرعة جسم بالعلاقة $v = 6t - 3t^2$ م/ث ويبدأ من $x = 0$ . أوجد الإزاحة والمسافة في $[0, 3]$ .
سرعة جسم $v = 3x$ . أوجد عجلته بدلالة $x$ ثم عند $x = 2$ .
من منحنى سرعة–زمن، كيف تعرف أن الجسم يغير اتجاه حركته؟ وكيف تحسب المسافة والإزاحة؟