ملخص التطابق — ثانية إعدادي

مقدمة

الوحدة: الوحدة الثالثة: الهندسة

تُصنع قطع الغيار في المصانع بحيث تكون كل قطعة نسخة مطابقة للأخرى، وتُطبع صفحات الكتاب الواحد متطابقة. في الهندسة نقول عن شكلين إنهما متطابقان إذا أمكن وضع أحدهما على الآخر فينطبقان تمامًا. يدرس هذا الدرس متى نحكم بتطابق مثلثين دون مقارنة جميع أضلاعهما وزواياهما.

أهداف التعلم

أن يوضح الطالب مفهوم تطابق الأشكال الهندسية.
أن يعدد الطالب حالات تطابق المثلثين ويستخدمها في إثبات التطابق.
أن يستنتج الطالب النتائج المترتبة على تطابق مثلثين (تساوي الأضلاع والزوايا المتناظرة).
أن يستخدم الطالب التطابق في حل مسائل هندسية واستدلالات بسيطة.

شرح الدرس

مفهوم التطابق

يُقال عن شكلين هندسيين إنهما متطابقان إذا كان من الممكن تركيب أحدهما على الآخر تمامًا بحيث ينطبق كل منهما على الآخر تمام الانطباق، أي يتساويان في الشكل وفي جميع الأطوال والقياسات. وفي حالة المثلثين المتطابقين، تتطابق الأضلاع المتناظرة والزوايا المتناظرة كل على نظيرتها.

إذا كان المثلث $ABC$ يطابق المثلث $DEF$ ، نكتب:

\triangle ABC \cong \triangle DEF

ويُشترط أن يكون الترتيب في الكتابة معبّرًا عن التناظر الصحيح، أي أن $A \leftrightarrow D$ ، $B \leftrightarrow E$ ، $C \leftrightarrow F$ ، وبالتالي:

AB = DE, \quad BC = EF, \quad AC = DF

\angle A = \angle D, \quad \angle B = \angle E, \quad \angle C = \angle F

تطابق المضلعات

يتطابق مضلعان إذا تحقق الشرطان معًا: الأضلاع المتناظرة متطابقة (متساوية في الطول)، والزوايا المتناظرة متطابقة (متساوية في القياس). وتذكّر أن التحويلات الهندسية (الانعكاس والانتقال والدوران) تحافظ على الأطوال وقياسات الزوايا، فصورة أي شكل بأحدها تطابقه.

حالات تطابق المثلثين

لإثبات تطابق مثلثين لا يلزم التحقق من تساوي الأضلاع الثلاثة والزوايا الثلاث، بل يكفي تحقق إحدى الحالات الخمس الآتية:

الحالة الأولى: ثلاثة أضلاع (SSS). يتطابق المثلثان إذا تطابق كل ضلع في أحدهما مع نظيره في الآخر.

الحالة الثانية: ضلعان وزاوية محصورة (SAS). يتطابق المثلثان إذا تطابق ضلعان والزاوية المحصورة بينهما في أحدهما مع نظائرها في الآخر.

الحالة الثالثة: زاويتان والضلع المرسوم بين رأسيهما (ASA). يتطابق المثلثان إذا تطابقت زاويتان والضلع الواصل بين رأسيهما في أحدهما مع نظائرها في الآخر.

الحالة الرابعة: زاويتان وضلع غير واصل بين الرأسين (AAS). يتطابق المثلثان إذا تطابقت زاويتان وضلع لا يقع بين رأسيهما في أحدهما مع نظائرها في الآخر. (لأن الزاوية الثالثة تتساوى تلقائيًا، فمجموع زوايا المثلث $180°$ .)

الحالة الخامسة: وتر وأحد ضلعي القائمة (RHS). يتطابق المثلثان القائما الزاوية إذا تطابق الوتر وأحد ضلعي القائمة في أحدهما مع نظيريهما في الآخر.

الحالة	الرمز	الاختصار العربي	العناصر المتساوية
الأولى	SSS	ض.ض.ض	ثلاثة أضلاع
الثانية	SAS	ض.ز.ض	ضلعان والزاوية المحصورة بينهما
الثالثة	ASA	ز.ض.ز	زاويتان والضلع الواصل بين رأسيهما
الرابعة	AAS	ز.ز.ض	زاويتان وضلع غير واصل بين رأسيهما
الخامسة	RHS	وتر وضلع	وتر وضلع قائمة في مثلثين قائمي الزاوية

أهمية التطابق في الاستدلال الهندسي

يُستخدم إثبات تطابق مثلثين كخطوة أساسية للوصول إلى نتائج أخرى، مثل إثبات تساوي طولين أو زاويتين لا يمكن مقارنتهما مباشرة، وذلك باتباع الأسلوب التالي:

نحدد المثلثين المراد إثبات تطابقهما.
نثبت توافر حالة من حالات التطابق بين المثلثين.
نستنتج تطابق المثلثين، وبالتالي تساوي الأضلاع أو الزوايا المتناظرة المطلوبة.

رمز التطابق والترتيب الصحيح

يجب الحرص الشديد عند كتابة رمز التطابق $\cong$ على مراعاة ترتيب رؤوس المثلثين بحيث يعبر الترتيب عن التناظر الصحيح بين الأضلاع والزوايا؛ فكتابة $\triangle ABC \cong \triangle DEF$ تختلف عن $\triangle ABC \cong \triangle EDF$ من حيث الأضلاع والزوايا المتناظرة.

أمثلة وتطبيقات

مثال 1: في المثلثين $ABC$ و $DEF$ ، إذا كان $AB=DE$ ، $\angle A = \angle D$ ، $AC=DF$ ، أثبت أن $\triangle ABC \cong \triangle DEF$ .

الحل: لدينا ضلعان ( $AB$ ، $AC$ ) والزاوية المحصورة بينهما ( $\angle A$ ) تساوي نظائرها ( $DE$ ، $DF$ ، $\angle D$ )، إذن حسب حالة (ض.ز.ض):

\triangle ABC \cong \triangle DEF

مثال 2: في المثلثين $XYZ$ و $MNP$ ، إذا كان $XY=MN=5$ سم، $YZ=NP=7$ سم، $XZ=MP=6$ سم، أثبت التطابق واذكر الحالة المستخدمة.

الحل: الأضلاع الثلاثة في $\triangle XYZ$ تساوي نظائرها في $\triangle MNP$ ، إذن حسب حالة (ض.ض.ض):

\triangle XYZ \cong \triangle MNP

مثال 3: إذا كان $\triangle ABC \cong \triangle DEF$ ، و $AB = 8$ سم، $\angle B = 50°$ ، $BC=6$ سم، أوجد $DE$ و $\angle E$ و $EF$ .

الحل: بما أن التطابق يعني تساوي العناصر المتناظرة حسب الترتيب $A \leftrightarrow D$ ، $B \leftrightarrow E$ ، $C \leftrightarrow F$ :

DE = AB = 8 \text{سم}, \quad \angle E = \angle B = 50°, \quad EF = BC = 6 \text{سم}

ملاحظات مهمة

تساوي الزوايا الثلاث وحده لا يكفي للتطابق؛ فمثلثان متساويا الأضلاع طول ضلع الأول $2$ سم والثاني $5$ سم زواياهما متساوية لكنهما غير متطابقين.
لا توجد حالة «ضلعان وزاوية غير محصورة» بوجه عام؛ فهي لا تكفي للتطابق إلا في المثلث القائم حين تكون الزاوية قائمة (الحالة الخامسة).
عند كتابة البرهان، اذكر العناصر المتساوية وسبب تساوي كل منها (معطى، أو ضلع مشترك، أو زاويتان متقابلتان بالرأس…) ثم اذكر الحالة.

المفاهيم الأساسية

المثلثان المتطابقان يتساويان تمامًا في الأضلاع والزوايا المتناظرة.
حالات تطابق المثلثين خمس: ض.ض.ض، ض.ز.ض، ز.ض.ز، ز.ز.ض، والوتر وضلع القائمة في المثلثين القائمي الزاوية.
إثبات إحدى الحالات يكفي للحكم بتطابق مثلثين دون الحاجة لكل الأضلاع والزوايا.
ترتيب الرؤوس في رمز التطابق يجب أن يعكس التناظر الصحيح بين الأضلاع والزوايا.

ملخص الدرس

المثلثان المتطابقان تتساوى أضلاعهما المتناظرة وزواياهما المتناظرة، ويجب أن يعبر ترتيب الرؤوس في كتابة التطابق عن هذا التناظر. ولإثبات التطابق يكفي تحقق حالة واحدة، مثل تساوي ضلعين والزاوية المحصورة بينهما، أو زاويتين والضلع المرسوم بينهما، أو الأضلاع الثلاثة. وبعد إثبات التطابق نستنتج تساوي بقية العناصر المتناظرة.

أسئلة للتدريب

اذكر حالات تطابق المثلثين التي درستها مع توضيح مختصر لكل حالة.
في المثلثين $ABC$ و $PQR$ ، إذا كان $\angle A = \angle P$ ، $\angle B = \angle Q$ ، $AB = PQ$ ، أي حالة تطابق تنطبق؟ ولماذا؟
إذا كان $\triangle ABC \cong \triangle XYZ$ ، و $\angle C = 65°$ ، $AC = 9$ سم، فما قيمة $\angle Z$ وطول $XZ$ ؟
وضح لماذا لا تعتبر حالة (ز.ز.ز) من حالات تطابق المثلثين رغم تساوي الزوايا الثلاث.
ارسم مثلثين متطابقين بحالة (ز.ض.ز) وبيّن العناصر المتناظرة بينهما.