ملخص متتابعات متقدّمة — ثانية ثانوي

مقدمة

المادة: الرياضيات
المسار: مسار الطب وعلوم الحياة
الوحدة: الفصل 2 — المتتابعات

انظر إلى المتتابعة $1, 2, 5, 10, 17, 26, \ldots$ : ليست حسابية ولا هندسية، لكن الفروق بين حدودها $1, 3, 5, 7, 9$ حسابية واضحة! كثير من المتتابعات تخفي نمطها داخل فروقها أو داخل مجاميعها. في هذا الدرس نستخدم ما تعلمناه عن الحسابية والهندسية والتجميع لفك ألغاز متتابعات أكثر تعقيدًا.

أهداف التعلم

أن تجد الحد العام لمتتابعة إذا عُلم مجموع أول $n$ حدًّا منها.
أن تكوّن متتابعة الفروق وتستخدمها لإيجاد الحد العام.
أن تحدد موضع حد في متتابعة مجمّعة وتحسب مجموع مجموعة معينة.

شرح الدرس

الحد العام من المجموع

إذا كان $S_n$ مجموع أول $n$ حدًّا من متتابعة فإن:

a_1 = S_1 \qquad a_n = S_n - S_{n-1}\quad (n \ge 2)

تنبيه: الصيغة الثانية تصح من $n = 2$ فقط؛ لذلك نتحقق هل تعطي $a_1$ الصحيح أيضًا. إذا لم تعطه نكتب الحد الأول منفصلًا.

متتابعة الفروق

لمتتابعة $\{a_n\}$ نعرّف متتابعة الفروق $b_n = a_{n+1} - a_n$ . فإذا عرفنا حدها العام أمكننا استرجاع المتتابعة الأصلية:

a_n = a_1 + \sum_{k=1}^{n-1} b_k \qquad (n \ge 2)

لأن:

\begin{aligned} a_n = {}&a_1 + (a_2 - a_1) + (a_3 - a_2) \\ &+ \cdots + (a_n - a_{n-1}) \end{aligned}

وإذا كانت الفروق نفسها غير واضحة، نأخذ الفروق الثانية؛ فإذا كانت ثابتة كان الحد العام كثيرة حدود من الدرجة الثانية في $n$ .

الحدود 1، 2، 5، 10، 17، 26 في الصف الأول، وتحتها فروقها 1، 3، 5، 7، 9 وهي حسابية، وتحتها الفروق الثانية الثابتة وتساوي 2، ومنها الحد العام يساوي 1 زائد مربع n ناقص 1

المتتابعات المجمّعة

نقسم حدود متتابعة إلى مجموعات وفق قاعدة، مثل مجموعة فيها حد واحد ثم مجموعة فيها حدان ثم ثلاثة… لنجيب عن أسئلة مثل: ما أول حد في المجموعة رقم $k$ ؟ وفي أي مجموعة يقع حد معين؟ وما مجموع حدود مجموعة ما؟ الفكرة: نعد الحدود التي تسبق المجموعة رقم $k$ ؛ فإذا كان في المجموعة رقم $j$ عدد $j$ من الحدود، فعدد الحدود قبل المجموعة $k$ هو $1 + 2 + \cdots + (k - 1) = \frac{k(k - 1)}{2}$ .

أمثلة وتطبيقات

مثال 1 (من المجموع): إذا كان $S_n = n^{2} + 3n$ ، فإن $a_1 = S_1 = 4$ ، ولكل $n \ge 2$ :

\begin{aligned} &a_n \\ &= (n^{2} + 3n) - \bigl((n - 1)^{2} + 3(n - 1)\bigr) \\ &= 2n + 2 \end{aligned}

وعند $n = 1$ تعطي الصيغة 4 أيضًا، فالحد العام $a_n = 2n + 2$ لكل $n$ .

مثال 2 (حالة يختلف فيها الحد الأول): إذا كان $S_n = 2^{n} + 1$ فإن $a_1 = S_1 = 3$ ، ولكل $n \ge 2$ : $a_n = 2^{n} - 2^{n-1} = 2^{n-1}$ . لكن الصيغة تعطي عند $n = 1$ القيمة 1 لا 3؛ فالمتتابعة $3, 2, 4, 8, \ldots$ وحدها الأول لا يتبع الصيغة.

مثال 3 (فروق حسابية): في $1, 2, 5, 10, 17, \ldots$ الفروق $b_k = 2k - 1$ ، فيكون:

\begin{aligned} a_n &= 1 + \sum_{k=1}^{n-1} (2k - 1) \\ &= 1 + (n - 1)^{2} \end{aligned}

تحقق: $a_5 = 1 + 16 = 17$ .

مثال 4 (فروق هندسية): في $3, 4, 6, 10, 18, \ldots$ الفروق $1, 2, 4, 8, \ldots$ هندسية $b_k = 2^{k-1}$ :

\begin{aligned} a_n &= 3 + \sum_{k=1}^{n-1} 2^{k-1} \\ &= 3 + (2^{n-1} - 1) \\ &= 2^{n-1} + 2 \end{aligned}

تحقق: $a_5 = 16 + 2 = 18$ .

مثال 5 (متتابعة مجمّعة): نجمّع الأعداد الفردية بحيث تضم المجموعة رقم $k$ عدد $k$ من الحدود:

(1),\ (3, 5),\ (7, 9, 11),\ (13, 15, 17, 19), \ldots

عدد الحدود قبل المجموعة $k$ هو $\frac{k(k - 1)}{2}$ ، فأول حد فيها هو العدد الفردي رقم $\frac{k(k - 1)}{2} + 1$ ، أي $2\left(\frac{k(k - 1)}{2} + 1\right) - 1 = k^{2} - k + 1$ .
أول حد في المجموعة العاشرة: $100 - 10 + 1 = 91$ .
مجموع المجموعة $k$ : $k$ حدًّا أولها $k^{2} - k + 1$ وأساسها 2، فمجموعها $\frac{k}{2}\bigl[2(k^{2} - k + 1) + 2(k - 1)\bigr] = k^{3}$ . تحقق: $7 + 9 + 11 = 27 = 3^{3}$ .

ملاحظات مهمة

لا تنسَ فحص الحد الأول عند إيجاد $a_n$ من $S_n$ .
في صيغة الفروق يمتد المجموع إلى $n - 1$ لا إلى $n$ .
إذا لم تكن الفروق الأولى ولا الثانية ذات نمط واضح، جرّب نسب الحدود أو فروق فروق أعلى.
في المتتابعات المجمّعة اكتب المجموعات الأولى صراحة وتحقق من صيغتك عليها.

المفاهيم الأساسية

$a_1 = S_1$ ، و $a_n = S_n - S_{n-1}$ لكل $n \ge 2$ .
متتابعة الفروق $b_n = a_{n+1} - a_n$ ، و $a_n = a_1 + \sum_{k=1}^{n-1} b_k$ .
فروق ثانية ثابتة تعني حدًّا عامًّا من الدرجة الثانية.
في التجميع $1, 2, 3, \ldots$ حدًّا: عدد الحدود قبل المجموعة $k$ هو $\frac{k(k - 1)}{2}$ .

ملخص الدرس

عندما لا تكون المتتابعة حسابية ولا هندسية نبحث عن النمط في مجاميعها أو في فروقها. فإذا عُلم مجموع أول $n$ حدًّا استنتجنا الحد العام بطرح مجموعين متتاليين مع فحص الحد الأول، وإذا كانت الفروق بين الحدود متتابعة معروفة استرجعنا الحد العام بإضافة مجموع الفروق إلى الحد الأول. وفي المتتابعات المجمّعة نعد الحدود السابقة لكل مجموعة لنحدد مواضع الحدود ومجاميع المجموعات.

أسئلة للتدريب

إذا كان $S_n = 2n^{2} - n$ فأوجد الحد العام وبيّن نوع المتتابعة.
أوجد الحد العام للمتتابعة $2, 3, 5, 8, 12, 17, \ldots$ باستخدام الفروق.
أوجد الحد العام للمتتابعة $1, 4, 13, 40, \ldots$ علمًا بأن فروقها هندسية.
في المتتابعة المجمّعة $(1),\ (2, 3),\ (4, 5, 6), \ldots$ ما أول حد في المجموعة الثامنة؟ وما مجموع حدودها؟
إذا كان $S_n = 3^{n} - 2$ فهل يتبع الحد الأول صيغة الحد العام؟ فسّر.