ملخص تحديد نوع جذري المعادلة التربيعية — أولى ثانوي

مقدمة

الوحدة الأولى: الجبر والعلاقات والدوال — البند 1-2

تعلمت أن المعادلة التربيعية قد يكون لها حلان حقيقيان، أو حل واحد مكرر، أو لا يكون لها حل حقيقي. فهل يمكن معرفة ذلك قبل حل المعادلة؟ الإجابة نعم، بمقدار واحد يظهر داخل القانون العام يسمى المميز.

أهداف التعلم

أن تحسب مميز المعادلة التربيعية.
أن تحدد نوع جذري المعادلة من إشارة المميز دون حلها.
أن تربط نوع الجذرين بعدد نقاط تقاطع منحنى الدالة مع محور السينات.
أن تجد قيمة مجهول في المعادلة يجعل جذريها متساويين أو حقيقيين أو غير حقيقيين.

شرح الدرس

المميز

جذرا المعادلة التربيعية $ax^2 + bx + c = 0$ حيث $a \neq 0$ والمعاملات أعداد حقيقية هما:

x = \frac{-b + \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a} \qquad , \qquad x = \frac{-b - \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}

الجذران يحتويان على المقدار $b^2 - 4ac$ تحت الجذر التربيعي، ولذلك يسمى هذا المقدار مميز المعادلة التربيعية، ويُرمز له أحيانًا بالرمز $\Delta$ :

\Delta = b^2 - 4ac

نوع الجذرين حسب إشارة المميز

إشارة المميز	نوع الجذرين	منحنى الدالة $y = ax^2 + bx + c$
$b^2 - 4ac > 0$	جذران حقيقيان مختلفان	يقطع محور السينات في نقطتين
$b^2 - 4ac = 0$	جذران حقيقيان متساويان (جذر مكرر)	يمس محور السينات في نقطة واحدة
$b^2 - 4ac < 0$	جذران مركبان مترافقان غير حقيقيين	لا يقطع محور السينات

والسبب: إذا كان المميز موجبًا فجذره عدد حقيقي غير صفري، فيُضاف مرة ويُطرح مرة فنحصل على جذرين مختلفين. وإذا كان صفرًا صار الجذران كلاهما $\frac{-b}{2a}$ . وإذا كان سالبًا كان جذره عددًا تخيليًّا، فيكون الجذران على الصورة $p + qi$ و $p - qi$ .

إذا كان المميز مربعًا كاملًا

إذا كانت المعاملات $a$ و $b$ و $c$ أعدادًا نسبية وكان المميز مربعًا كاملًا موجبًا (مثل 1 أو 49)، فإن الجذرين نسبيان، ويمكن حل المعادلة بالتحليل. أما إذا كان موجبًا وليس مربعًا كاملًا (مثل 8) فالجذران حقيقيان غير نسبيين.

إيجاد مجهول بشرط على نوع الجذرين

عندما تحتوي المعادلة على مجهول مثل $k$ ، نكتب المميز بدلالته ثم نطبق الشرط المطلوب:

جذران متساويان: المميز $= 0$ .
جذران حقيقيان مختلفان: المميز $> 0$ .
جذران غير حقيقيين: المميز $< 0$ .

أمثلة وتطبيقات

مثال 1: حدد نوع جذري المعادلة $5x^2 + x - 7 = 0$ .

$a = 5,\ b = 1,\ c = -7$ ، والمميز $= 1^2 - 4(5)(-7) = 1 + 140 = 141 > 0$ ، إذن للمعادلة جذران حقيقيان مختلفان.

مثال 2: حدد نوع جذري المعادلة $x^2 - 2x + 1 = 0$ .

المميز $= (-2)^2 - 4(1)(1) = 4 - 4 = 0$ ، إذن الجذران حقيقيان متساويان، وكلاهما يساوي $1$ .

مثال 3: أثبت أن جذري المعادلة $x^2 - 4x + 13 = 0$ غير حقيقيين، ثم أوجدهما.

المميز $= 16 - 52 = -36 < 0$ ، إذن الجذران مركبان غير حقيقيين. وبالقانون العام:

x = \frac{4 \pm \sqrt{-36}}{2} = \frac{4 \pm 6i}{2} = 2 \pm 3i

مثال 4: أوجد قيم $k$ الحقيقية التي تجعل جذري المعادلة $x^2 + 2(k - 1)x + 9 = 0$ متساويين.

الجذران متساويان إذا كان المميز صفرًا:

4(k - 1)^2 - 36 = 0 \;\Rightarrow\; (k - 1)^2 = 9 \;\Rightarrow\; k - 1 = \pm 3

إذن $k = 4$ أو $k = -2$ . التحقق: عندما $k = 4$ تصبح المعادلة $x^2 + 6x + 9 = 0$ أي $(x + 3)^2 = 0$ ، وعندما $k = -2$ تصبح $x^2 - 6x + 9 = 0$ أي $(x - 3)^2 = 0$ .

مثال 5: أوجد قيم $m$ التي تجعل جذري المعادلة $x^2 - 6x + m = 0$ حقيقيين مختلفين.

المميز $= 36 - 4m > 0$ ، إذن $m < 9$ .

ملاحظات مهمة

اكتب المعادلة أولًا على الصورة $ax^2 + bx + c = 0$ قبل تحديد $a$ و $b$ و $c$ ؛ فالمعادلة $x(x + 5) = -7$ تصبح $x^2 + 5x + 7 = 0$ .
انتبه لإشارات المعاملات عند التعويض؛ فمربع العدد السالب موجب: $(-6)^2 = 36$ .
في الكتاب المدرسي يُكتب المجهول بالرمز س، والمعادلة $ax^2 + bx + c = 0$ هي نفسها أ س² + ب س + جـ = 0.
إذا كان $a$ و $c$ مختلفين في الإشارة فإن $-4ac > 0$ ، فيكون المميز موجبًا دائمًا والجذران حقيقيين مختلفين.

المفاهيم الأساسية

المميز: $b^2 - 4ac$ .
المميز موجب: جذران حقيقيان مختلفان.
المميز صفر: جذران حقيقيان متساويان.
المميز سالب: جذران مركبان مترافقان غير حقيقيين.
لإيجاد مجهول بشرط على الجذرين نكتب المميز بدلالته ونطبق الشرط.

ملخص الدرس

يكفي حساب المميز $b^2 - 4ac$ وتحديد إشارته لمعرفة نوع جذري المعادلة التربيعية دون حلها، وهذه الإشارة تخبرنا أيضًا هل يقطع منحنى الدالة محور السينات في نقطتين أم يمسه أم لا يقطعه. ويُستخدم الشرط نفسه عكسيًّا لإيجاد قيم مجهول يحقق نوعًا معينًا من الجذور.

أسئلة للتدريب

حدد نوع جذري كل من المعادلات: $2x^2 - 3x + 5 = 0$ ، $9x^2 - 12x + 4 = 0$ ، $x^2 - 3x - 10 = 0$ .
أثبت أن جذري المعادلة $x^2 + 6x + 10 = 0$ غير حقيقيين، ثم أوجدهما بالقانون العام.
أوجد قيمة $k$ التي تجعل جذري المعادلة $x^2 - kx + 16 = 0$ متساويين.
أوجد قيم $c$ التي تجعل للمعادلة $x^2 + 4x + c = 0$ جذرين غير حقيقيين.
بيّن أن جذري المعادلة $3x^2 + 2x - 5 = 0$ حقيقيان نسبيان، ثم حلها بالتحليل.