ملخص إشارة الدالة — أولى ثانوي

مقدمة

الوحدة الأولى: الجبر والعلاقات والدوال — البند 1-4

عندما ترسم منحنى دالة، يكون جزء منه فوق محور السينات وجزء تحته، وقد يلمس المحور أو يقطعه. بحث إشارة الدالة معناه تحديد قيم $x$ التي تكون عندها الدالة موجبة ( $f(x) > 0$ )، والتي تكون عندها سالبة ( $f(x) < 0$ )، والتي تساوي عندها صفرًا. وهذه المهارة هي الأساس الذي نبني عليه حل المتباينات في الدرس التالي.

أهداف التعلم

أن تحدد إشارة الدالة الثابتة.
أن تبحث إشارة دالة الدرجة الأولى جبريًّا وبيانيًّا.
أن تبحث إشارة الدالة التربيعية في حالاتها الثلاث حسب المميز.
أن تعبّر عن الإجابة باستخدام الفترات.

شرح الدرس

أولًا: إشارة الدالة الثابتة

الدالة الثابتة $f(x) = c$ حيث $c \neq 0$ لها إشارة $c$ نفسها لجميع الأعداد الحقيقية؛ لأن منحناها مستقيم أفقي يقع كله فوق محور السينات إذا كان $c > 0$ ، أو كله تحته إذا كان $c < 0$ .

$f(x) = 5$ : موجبة لكل $x \in \mathbb{R}$ .
$f(x) = -\frac{2}{3}$ : سالبة لكل $x \in \mathbb{R}$ .

ثانيًا: إشارة دالة الدرجة الأولى

الدالة $f(x) = ax + b$ حيث $a \neq 0$ تساوي صفرًا عند $x = -\frac{b}{a}$ فقط، وعندها يقطع المستقيم محور السينات. وإشارتها:

مثل إشارة معامل $x$ عندما $x > -\frac{b}{a}$ (يمين الصفر).
عكس إشارة معامل $x$ عندما $x < -\frac{b}{a}$ (يسار الصفر).

ثالثًا: إشارة الدالة التربيعية

لبحث إشارة $f(x) = ax^2 + bx + c$ نحسب المميز $b^2 - 4ac$ أولًا، ثم نميز ثلاث حالات:

الحالة الأولى: المميز موجب. للمعادلة $f(x) = 0$ جذران حقيقيان $L < M$ ، ويقطع المنحنى محور السينات في نقطتين. وتكون إشارة الدالة:

مثل إشارة $a$ خارج الجذرين، أي عندما $x < L$ أو $x > M$ .
عكس إشارة $a$ بين الجذرين، أي عندما $L < x < M$ .
صفرًا عند $x = L$ و $x = M$ .

الحالة الثانية: المميز صفر. للمعادلة جذران متساويان كلٌّ منهما $L$ ، والمنحنى يمس محور السينات عند $x = L$ . تكون الدالة مثل إشارة $a$ لكل $x \neq L$ ، وتساوي صفرًا عند $x = L$ .

الحالة الثالثة: المميز سالب. لا توجد جذور حقيقية، والمنحنى لا يقطع محور السينات. تكون الدالة مثل إشارة $a$ لجميع الأعداد الحقيقية.

طريقة سهلة للتذكر: الدالة التربيعية تأخذ إشارة $a$ دائمًا، إلا بين الجذرين إن وُجدا.

أمثلة وتطبيقات

مثال 1: عيّن إشارة الدالة $f(x) = x - 2$ .

الصفر عند $x = 2$ ، ومعامل $x$ موجب:

$f(x) > 0$ عندما $x > 2$ .
$f(x) = 0$ عندما $x = 2$ .
$f(x) < 0$ عندما $x < 2$ .

مثال 2: عيّن إشارة الدالة $f(x) = -2x - 4$ .

الصفر عند $x = -2$ ، ومعامل $x$ سالب؛ فالدالة سالبة عندما $x > -2$ ، وموجبة عندما $x < -2$ .

مثال 3: عيّن إشارة الدالة $f(x) = x^2 - 2x - 3$ .

$f(x) = (x - 3)(x + 1)$ ، فالجذران $-1$ و $3$ ، و $a = 1 > 0$ :

$f(x) > 0$ عندما $x \in \mathbb{R} - [-1, 3]$ (خارج الجذرين).
$f(x) < 0$ عندما $x \in (-1, 3)$ (بين الجذرين).
$f(x) = 0$ عندما $x \in \{-1, 3\}$ .

مثال 4: عيّن إشارة الدالة $f(x) = x^2 - 4x + 5$ .

المميز $= 16 - 20 = -4 < 0$ ، و $a = 1 > 0$ ، إذن الدالة موجبة لكل $x \in \mathbb{R}$ .

مثال 5: عيّن إشارة الدالة $f(x) = -x^2 + 6x - 9$ .

$f(x) = -(x - 3)^2$ ، والمميز $= 36 - 36 = 0$ ، و $a = -1 < 0$ ؛ إذن $f(x) < 0$ لكل $x \neq 3$ ، و $f(x) = 0$ عند $x = 3$ .

ملاحظات مهمة

لا تبحث الإشارة قبل ترتيب الدالة وتحديد $a$ بدقة؛ ففي $f(x) = 6 + x - x^2$ يكون $a = -1$ .
التحليل إلى عاملين أسرع طريقة لإيجاد الجذرين، وإن لم يمكن فاستخدم القانون العام.
رموز الفترات: الفترة المفتوحة $(-1, 3)$ تُكتب في الكتاب المدرسي ]−1، 3[، والفترة المغلقة $[-1, 3]$ تُكتب [−1، 3]، ويُرمز لمجموعة الأعداد الحقيقية بالرمز ح، وللدالة بالرمز د(س).

المفاهيم الأساسية

الدالة الثابتة $f(x) = c$ لها إشارة $c$ دائمًا.
دالة الدرجة الأولى: مثل إشارة معامل $x$ بعد الصفر، وعكسها قبله.
الدالة التربيعية: مثل إشارة $a$ خارج الجذرين، وعكس إشارة $a$ بين الجذرين.
إذا كان المميز صفرًا أو سالبًا فالدالة التربيعية لها إشارة $a$ (عدا الجذر المكرر حيث تساوي صفرًا).

ملخص الدرس

بحث إشارة الدالة يعني تقسيم خط الأعداد إلى فترات تكون فيها الدالة موجبة أو سالبة أو صفرًا. الدالة الثابتة لا تتغير إشارتها، والدالة الخطية تغير إشارتها مرة واحدة عند صفرها، والدالة التربيعية تأخذ إشارة معامل $x^2$ إلا في الفترة الواقعة بين جذريها الحقيقيين إن وُجدا.

أسئلة للتدريب

عيّن إشارة الدالة $f(x) = -\frac{3}{2}$ .
عيّن إشارة الدالة $f(x) = 3x - 6$ ، ووضح ذلك بيانيًّا.
عيّن إشارة الدالة $f(x) = x^2 - x - 6$ .
عيّن إشارة الدالة $f(x) = x^2 - 6x + 9$ .
عيّن إشارة الدالة $f(x) = -x^2 - 2x - 4$ ، وفسّر لماذا لا تغير إشارتها أبدًا.