المحتوى الرئيسي

تعريف العلاقة

إذا كانت $A$ و $B$ مجموعتين غير خاليتين، فإن العلاقة $R$ من $A$ إلى $B$ هي أي مجموعة جزئية من حاصل الضرب الديكارتي $A \times B$: $R \subseteq A \times B$

بمعنى آخر، العلاقة هي مجموعة من الأزواج المرتبة $(x,y)$ التي تربط بين عناصر $A$ و $B$ وفق قاعدة أو شرط معين، مثل ”$y$ ضعف $x$” أو ”$x$ أصغر من $y$”.

مجال العلاقة ومداها

• مجال العلاقة (Domain): هو مجموعة كل المؤلفات الأولى للأزواج المرتبة في $R$، ويُرمز له بـ $D_R$.
• مدى العلاقة (Range): هو مجموعة كل المؤلفات الثانية للأزواج المرتبة في $R$، ويُرمز له بـ $R_R$ أو $M_R$.

مثال: إذا كانت $R = \{(1,2), (3,4), (5,6)\}$ فإن $D_R = \{1,3,5\}$ و $M_R = \{2,4,6\}$.

طرق التعبير عن العلاقة

1. بصورة قاعدة لفظية أو رمزية: مثل $R = \{(x,y): y = x + 1, x \in \{1,2,3\}\}$.
2. بصورة مجموعة من الأزواج المرتبة: بتعداد عناصرها صراحة.
3. بصورة جدول: يوضح كل قيمة $x$ وما يقابلها من قيم $y$.
4. بيانيًا: بتمثيل كل زوج مرتب كنقطة على المستوى الإحداثي.

العلاقة العكسية

إذا كانت $R$ علاقة من $A$ إلى $B$، فإن العلاقة العكسية $R^{-1}$ هي علاقة من $B$ إلى $A$ تتكون من الأزواج المرتبة الناتجة عن عكس ترتيب كل زوج في $R$: $R^{-1} = \{(y, x) : (x, y) \in R\}$

ويترتب على ذلك أن: $D_{R^{-1}} = M_R \qquad , \qquad M_{R^{-1}} = D_R$

أي أن مجال العلاقة العكسية هو مدى العلاقة الأصلية، ومدى العلاقة العكسية هو مجال العلاقة الأصلية.

تمثيل العلاقة بيانيًا

عند رسم العلاقة $R \subseteq A \times B$ على المستوى الإحداثي، تُمثَّل عناصر $A$ (المجال) على المحور الأفقي (محور السينات) وعناصر $B$ على المحور الرأسي (محور الصادات)، وتظهر كل نقطة من نقاط العلاقة بإحداثييها $(x,y)$.

أسئلة للمراجعة

• إذا كانت $A = \{1,2,3\}$، عرّف على $A$ العلاقة "$y = x^2$" وأوجد مجالها ومداها.
• أوجد العلاقة العكسية للعلاقة $R = \{(0,1),(1,2),(2,3),(3,4)\}$.
• مثّل العلاقة $R = \{(-1,1),(0,0),(1,1)\}$ بيانيًا على المستوى الإحداثي.
• إذا كان $D_R = \{2,3,4\}$ و $M_R = \{5,6\}$، ما هو $D_{R^{-1}}$ و $M_{R^{-1}}$؟