المحتوى الرئيسي

تعريف التناسب

التناسب هو تساوي نسبتين، ويُكتب: $a : b = c : d \quad \text{أو} \quad \frac{a}{b} = \frac{c}{d}$

وتُقرأ ”$a$ إلى $b$ كـ $c$ إلى $d$”، حيث يسمى $a, d$ الحدين الطرفين، ويسمى $b, c$ الحدين الوسطين (المتوسطين).

خاصية الضرب التبادلي (حاصل ضرب الطرفين = حاصل ضرب الوسطين)

إذا تحقق التناسب $\dfrac{a}{b} = \dfrac{c}{d}$ (حيث $b, d \neq 0$)، فإن: $a \times d = b \times c$

أي أن حاصل ضرب الطرفين يساوي حاصل ضرب الوسطين. وهذه الخاصية هي الأساس في حل معظم مسائل التناسب، حيث تُستخدم لإيجاد حد مجهول إذا عُلمت الحدود الثلاثة الأخرى.

خواص النسبة (خواص التناسب)

إذا كان $\dfrac{a}{b} = \dfrac{c}{d}$، فإنه يترتب على ذلك الخواص التالية:

1. خاصية التبديل: $\dfrac{a}{c} = \dfrac{b}{d}$
2. خاصية القلب (العكس): $\dfrac{b}{a} = \dfrac{d}{c}$
3. خاصية التأليف (الجمع): $\dfrac{a+b}{b} = \dfrac{c+d}{d}$
4. خاصية التفريق (الطرح): $\dfrac{a-b}{b} = \dfrac{c-d}{d}$ (بشرط $a \neq b$، $c \neq d$)
5. خاصية تأليف وتفريق: $\dfrac{a+b}{a-b} = \dfrac{c+d}{c-d}$

تُستخدم هذه الخواص لتبسيط حل بعض المسائل التطبيقية دون الحاجة لحساب قيم الحدود بشكل مباشر.

التناسب المستمر

ثلاث كميات $a, b, c$ تكون في تناسب مستمر إذا تحقق: $\frac{a}{b} = \frac{b}{c}$ وفي هذه الحالة، وباستخدام خاصية الضرب التبادلي: $b^2 = a \times c \implies b = \sqrt{a \times c}$ وتسمى $b$ الوسط النسبي (المتناسب) بين $a$ و $c$، بينما تسمى $c$ الرابع التناسبي إذا كانت $a, b$ معلومتين و $c$ مطلوب إيجاده من علاقة $\dfrac{a}{b}=\dfrac{b}{c}$.

أسئلة للمراجعة

• أوجد قيمة $x$ إذا كان $\dfrac{9}{x} = \dfrac{27}{45}$.
• إذا كان $\dfrac{a}{b} = \dfrac{4}{7}$، أوجد قيمة $\dfrac{a-b}{b}$.
• أوجد الرابع التناسبي للأعداد $3, 5, 12$ (أي أوجد $x$ إذا كان $3:5 = 12:x$).
• إذا كانت $2, x, 8$ في تناسب مستمر، أوجد قيمة $x$.