ملخص النسب المثلثية للزاوية الحادة — ثالثة إعدادي

مقدمة

الوحدة: الوحدة 3: الهندسة
الدرس: 3-4

عرفت في درس تشابه المثلثات أن المثلثات القائمة التي لها زاوية حادة مشتركة متشابهة، وبالتالي تكون النسبة بين أي ضلعين متناظرين فيها ثابتة. هذه النسب الثابتة هي النسب المثلثية، وهي الأساس الذي يقوم عليه حساب المثلثات.

أهداف التعلم

أن تحدد الضلع المقابل والمجاور والوتر لزاوية حادة في مثلث قائم.
أن تعرّف جيب الزاوية وجيب تمامها وظلها.
أن تحسب النسب المثلثية من أطوال أضلاع مثلث قائم.
أن تستنتج العلاقة بين نسب زاويتين متتامتين.

شرح الدرس

أضلاع المثلث القائم بالنسبة لزاوية حادة

في $\triangle ABC$ القائم الزاوية في $B$ ، وبالنسبة للزاوية الحادة $A$ :

الوتر: $\overline{AC}$ ، الضلع المقابل للزاوية القائمة، وهو أطول الأضلاع.
المقابل: $\overline{BC}$ ، الضلع المقابل للزاوية $A$ .
المجاور: $\overline{AB}$ ، الضلع المجاور للزاوية $A$ غير الوتر.

المثلث ABC القائم في B: الوتر AC، والمقابل للزاوية A هو BC، والمجاور هو AB، وبجانبه sin A = المقابل ÷ الوتر وcos A = المجاور ÷ الوتر وtan A = المقابل ÷ المجاور

تعريف النسب المثلثية الأساسية

\sin A = \frac{\text{المقابل}}{\text{الوتر}}, \qquad \cos A = \frac{\text{المجاور}}{\text{الوتر}}, \qquad \tan A = \frac{\text{المقابل}}{\text{المجاور}}

وتُقرأ بالعربية: جا $A$ (الجيب)، وجتا $A$ (جيب التمام)، وظا $A$ (الظل).

لماذا لا تعتمد النسب على طول الأضلاع؟

لو رسمنا مثلثًا قائمًا أكبر له الزاوية $A$ نفسها، لكان مشابهًا للأول (حالة ز ز)، فتتضاعف الأضلاع كلها بالمعامل نفسه وتبقى النسب ثابتة. لذلك تعتمد النسب المثلثية على قياس الزاوية وحده.

حقائق مهمة

لأي زاوية حادة: $0 < \sin A < 1$ و $0 < \cos A < 1$ لأن الوتر أطول الأضلاع.
$\tan A = \frac{\sin A}{\cos A}$ .
$\sin^2 A + \cos^2 A = 1$ ، وهي نتيجة مباشرة لنظرية فيثاغورث.

الزاويتان المتتامتان

في المثلث القائم في $B$ ، الزاويتان $A$ و $C$ متتامتان ( $m(\angle A) + m(\angle C) = 90^\circ$ ). المقابل لإحداهما هو المجاور للأخرى، لذلك:

\sin A = \cos C, \qquad \cos A = \sin C, \qquad \tan A \times \tan C = 1

أمثلة وتطبيقات

مثال 1: $\triangle ABC$ قائم في $B$ ، $AB = 8$ سم و $BC = 6$ سم. أوجد النسب المثلثية للزاوية $A$ .

الحل: $AC = \sqrt{8^2 + 6^2} = \sqrt{100} = 10$ سم.

$\sin A = \frac{6}{10} = \frac{3}{5}$ ، $\cos A = \frac{8}{10} = \frac{4}{5}$ ، $\tan A = \frac{6}{8} = \frac{3}{4}$ .

تحقق: $\left(\frac{3}{5}\right)^2 + \left(\frac{4}{5}\right)^2 = \frac{9 + 16}{25} = 1$ ✓.

مثال 2: في المثال نفسه أوجد $\sin C$ و $\tan C$ .

الحل: $\sin C = \frac{AB}{AC} = \frac{4}{5} = \cos A$ ، و $\tan C = \frac{8}{6} = \frac{4}{3}$ ، ولاحظ أن $\tan A \times \tan C = \frac{3}{4} \times \frac{4}{3} = 1$ .

مثال 3: إذا كان $\sin A = \frac{5}{13}$ لزاوية حادة $A$ ، فأوجد $\cos A$ و $\tan A$ .

الحل: نفترض المقابل $5$ والوتر $13$ ، فالمجاور $\sqrt{169 - 25} = 12$ . إذن $\cos A = \frac{12}{13}$ و $\tan A = \frac{5}{12}$ .

ملاحظات مهمة

المقابل والمجاور يتبدلان بتبدل الزاوية، أما الوتر فثابت.
لا يمكن أن يكون جيب زاوية حادة أو جيب تمامها أكبر من $1$ ، أما الظل فقد يكون أكبر من $1$ .
لا تُعرَّف هذه النسب في هذا الدرس للزاوية القائمة نفسها في المثلث.

المفاهيم الأساسية

$\sin A$ = المقابل ÷ الوتر، $\cos A$ = المجاور ÷ الوتر، $\tan A$ = المقابل ÷ المجاور.
النسب المثلثية تعتمد على قياس الزاوية فقط بسبب التشابه.
$\sin^2 A + \cos^2 A = 1$ .
للزاويتين المتتامتين: جيب إحداهما يساوي جيب تمام الأخرى.

ملخص الدرس

النسب المثلثية الأساسية لزاوية حادة في مثلث قائم هي نسب بين أضلاعه: الجيب والجيب تمام والظل. وتبقى ثابتة لكل المثلثات القائمة التي تحتوي الزاوية نفسها لأنها متشابهة، وترتبط نسب الزاويتين الحادتين في المثلث القائم بعلاقات التتام.

أسئلة للتدريب

$\triangle XYZ$ قائم في $Y$ ، $XY = 5$ و $YZ = 12$ . أوجد النسب المثلثية الثلاث للزاوية $X$ .
إذا كان $\cos B = 0.6$ لزاوية حادة $B$ ، فأوجد $\sin B$ و $\tan B$ .
أثبت أن $\sin A = \cos C$ في مثلث قائم في $B$ .
هل يمكن أن يكون $\sin A = 1.2$ لزاوية حادة؟ ولماذا؟