ملخص التوقع (المتوسط) والتباين للمتغير العشوائي المتقطع — ثالثة ثانوي

مقدمة

البند: 2-4 من الوحدة الرابعة (المتغيرات العشوائية والتوزيعات الاحتمالية)
الشعبة: أدبي فقط (بديل الرياضيات البحتة لهذه الشعبة)

تلعب لعبة حظ؛ فهل تتوقع أن تربح أم تخسر على المدى الطويل؟ وإذا كان لديك مصنعان ينتجان المصابيح، فأيهما أقل تفاوتًا في العمر؟ الإجابتان تعتمدان على مقياسين للمتغير العشوائي: التوقع (القيمة المتوسطة التي تتجمع حولها القيم) والتباين (مقدار تشتتها عن هذه القيمة).

أهداف التعلم

أن تحسب التوقع والتباين والانحراف المعياري لمتغير عشوائي متقطع من جدول توزيعه.
أن تحسب معامل الاختلاف وتستخدمه في المقارنة.
أن تجد قيمة مجهولة في التوزيع من معلومية التوقع أو من شرط المجموع.
أن تفسر قيمة التوقع في مواقف تطبيقية.

شرح الدرس

أولًا: التوقع (المتوسط)

إذا كان $X$ متغيرًا عشوائيًا متقطعًا مداه $\{x_1, x_2, \dots, x_n\}$ ودالة توزيعه $d(x)$ فإن التوقع $\mu$ هو:

\mu = \sum_{i=1}^{n} x_i \cdot d(x_i) = x_1 d(x_1) + x_2 d(x_2) + \dots + x_n d(x_n)

أي نضرب كل قيمة في احتمالها ونجمع. ويُسمى أحيانًا «المتوسط» ويُقرأ الرمز $\mu$ «ميو». وتستعمل بعض المراجع الرمز $E(X)$ للتوقع (أي $E(X) = \mu$ ) والرمز $Var(X)$ للتباين (أي $Var(X) = \sigma^2$ )، والمعنى واحد.

ثانيًا: التباين والانحراف المعياري

التباين يقيس تشتت قيم المتغير عن توقعه، ويُرمز له $\sigma^2$ (سيجما تربيع):

\sigma^2 = \sum x_i^2 \cdot d(x_i) - \mu^2

والانحراف المعياري $\sigma = \sqrt{\sigma^2}$ . وكلاهما كمية موجبة دائمًا.

ثالثًا: معامل الاختلاف

إذا اختلفت وحدات القياس أو المتوسطات بين مجموعتين فلا يصلح الانحراف المعياري وحده للمقارنة؛ لذلك نستخدم معامل الاختلاف وهو النسبة المئوية للانحراف المعياري إلى المتوسط:

\text{معامل الاختلاف} = \frac{\sigma}{\mu} \times 100\%

وهو تشتت نسبي لا يتأثر بوحدة القياس؛ والمجموعة ذات المعامل الأصغر أكثر تجانسًا.

أمثلة وتطبيقات

أعمدة التوزيع الاحتمالي لعدد الصور في ثلاث رميات مع خط التوقع 1.5 كنقطة اتزان

مثال 1: $X$ عدد الصور في ثلاث رميات لعملة، توزيعه: $d(0) = \frac{1}{8}$ و $d(1) = \frac{3}{8}$ و $d(2) = \frac{3}{8}$ و $d(3) = \frac{1}{8}$ .

\mu = 0\cdot\frac{1}{8} + 1\cdot\frac{3}{8} + 2\cdot\frac{3}{8} + 3\cdot\frac{1}{8} = \frac{12}{8} = 1.5

\sum x^2 d(x) = 0 + \frac{3}{8} + 4\cdot\frac{3}{8} + 9\cdot\frac{1}{8} = \frac{24}{8} = 3,\qquad \sigma^2 = 3 - (1.5)^2 = 0.75,\qquad \sigma = \sqrt{0.75} \approx 0.87

مثال 2 (قيمتان مجهولتان): توزيع $X$ : $x = 1, 2, 3, 4$ باحتمالات $0.1, a, 0.4, b$ والتوقع $2.9$ . أوجد $a$ و $b$ .

مجموع الاحتمالات: $0.1 + a + 0.4 + b = 1 \Rightarrow a + b = 0.5$
التوقع: $1(0.1) + 2a + 3(0.4) + 4b = 2.9 \Rightarrow 2a + 4b = 1.6 \Rightarrow a + 2b = 0.8$
بطرح المعادلتين: $b = 0.3$ ثم $a = 0.2$ .

مثال 3 (لعبة): ورقة يانصيب ثمنها 3 جنيهات: تربح 100 جنيه باحتمال $0.01$ ، وتربح 10 جنيهات باحتمال $0.1$ ، وتخسر باحتمال $0.89$ (لا تربح شيئًا). التوقع للمبلغ المكسوب $= 100(0.01) + 10(0.1) + 0(0.89) = 1 + 1 = 2$ جنيه، أي أقل من ثمن الورقة بجنيه واحد؛ فالتوقع للصافي $= 2 - 3 = -1$ جنيه، أي أن اللاعب يخسر في المتوسط جنيهًا لكل ورقة على المدى الطويل.

مثال 4 (بطاقات): كيس فيه 6 بطاقات: 3 تحمل العدد 2 وبطاقتان تحملان العدد 5 وبطاقة تحمل العدد 8. سُحبت بطاقة و $X$ العدد عليها. $d(2) = \frac{1}{2}$ و $d(5) = \frac{1}{3}$ و $d(8) = \frac{1}{6}$ :

\mu = 2\cdot\frac{1}{2} + 5\cdot\frac{1}{3} + 8\cdot\frac{1}{6} = 1 + \frac{5}{3} + \frac{4}{3} = 4

\sum x^2 d(x) = 4\cdot\frac{1}{2} + 25\cdot\frac{1}{3} + 64\cdot\frac{1}{6} = 2 + \frac{25}{3} + \frac{32}{3} = 21,\qquad \sigma^2 = 21 - 4^2 = 5,\qquad \sigma = \sqrt{5} \approx 2.24

معامل الاختلاف $= \frac{2.24}{4} \times 100\% \approx 56\%$ .

مثال 5 (مقارنة بمعامل الاختلاف): مصنع (أ) متوسط عمر مصابيحه $1850$ ساعة وانحرافها $250$ ، ومصنع (ب) متوسطه $1580$ والانحراف $230$ . معامل الاختلاف: (أ) $\frac{250}{1850} \times 100\% \approx 13.5\%$ و(ب) $\frac{230}{1580} \times 100\% \approx 14.6\%$ . فمصابيح المصنع (أ) أكثر تجانسًا رغم أن انحرافها المعياري أكبر.

ملاحظات مهمة

التباين = متوسط المربعات − مربع المتوسط؛ فاحسب $\sum x^2 d(x)$ ثم اطرح $\mu^2$ ولا تنس التربيع.
التباين لا يكون سالبًا؛ فإن حصلت على قيمة سالبة فراجع حسابك.
التوقع قد لا يكون من قيم المتغير نفسه (كالتوقع $1.5$ لعدد الصور)، فهو متوسط على المدى الطويل لا ناتج واحد.
مجموع احتمالات التوزيع يساوي $1$ ، فاستخدمه لإيجاد الثوابت المجهولة قبل حساب التوقع.
لا نستخدم معامل الاختلاف إذا كان المتوسط صفرًا.

المفاهيم الأساسية

التوقع $\mu$ : $\sum x \cdot d(x)$ ، المتوسط المرجّح بالاحتمالات.
التباين $\sigma^2$ : $\sum x^2 d(x) - \mu^2$ .
الانحراف المعياري $\sigma$ : الجذر التربيعي للتباين.
معامل الاختلاف: $\frac{\sigma}{\mu} \times 100\%$ لمقارنة التشتت النسبي.

ملخص الدرس

التوقع $\mu = \sum x \cdot d(x)$ هو القيمة المتوسطة للمتغير العشوائي، والتباين $\sigma^2 = \sum x^2 d(x) - \mu^2$ مقياس تشتت قيمه عن التوقع، والانحراف المعياري جذره التربيعي. ويقارن معامل الاختلاف $\frac{\sigma}{\mu} \times 100\%$ بين تشتت مجموعتين مهما اختلفت وحدات القياس أو المتوسطات.

أسئلة للتدريب

أوجد التوقع والتباين لمتغير توزيعه: $x$ : 1، 2، 3 باحتمالات $0.2$ ، $0.5$ ، $0.3$ .
إذا كان توزيع $X$ : $x = 0, 1, 2$ باحتمالات $0.3$ ، $a$ ، $0.2$ ، فأوجد $a$ ثم التوقع.
رُمي حجر نرد مرة، أوجد توقع عدد النقاط الظاهرة.
معامل اختلاف الدرجات في مادة 8% وفي أخرى 12%، فأيهما أكثر تجانسًا؟
لعبة تربح فيها 20 جنيهًا باحتمال $0.1$ وتخسر 2 جنيه باحتمال $0.9$ ، أوجد التوقع.
لماذا يمكن أن يكون التوقع عددًا لا ينتمي إلى مدى المتغير؟