ملخص التوزيع الهندسي وتوزيع ذي الحدين — ثالثة ثانوي

مقدمة

البند: 3-4 من الوحدة الرابعة (المتغيرات العشوائية والتوزيعات الاحتمالية)
الشعبة: أدبي فقط (بديل الرياضيات البحتة لهذه الشعبة)

كم مرة تتوقع أن ترمي حجر نرد حتى يظهر الرقم 6 لأول مرة؟ وإذا أجبت عشوائيًا عن 10 أسئلة اختيار من متعدد، فما احتمال أن تصيب ثلاثًا منها؟ للسؤالين نوعان مألوفان من التجارب يتكرر فيهما موقف بسيط (نجاح أو فشل)، ولكل منهما توزيع احتمالي جاهز: التوزيع الهندسي وتوزيع ذي الحدين.

أهداف التعلم

أن تعرّف تجربة بيرنولي وتحدد شروط التجربة الهندسية وتجربة ذات الحدين.
أن تحسب احتمالات المتغير الهندسي ومتوسطه وتباينه.
أن تحسب احتمالات المتغير ذي الحدين ومتوسطه وتباينه.
أن تميّز بين التوزيعين وتختار المناسب لكل مسألة.

شرح الدرس

أعمدة التوزيع الهندسي وتوزيع ذي الحدين لمقارنة شكل كل منهما

أولًا: تجربة بيرنولي

تجربة بيرنولي تجربة عشوائية لها ناتجان فقط يُسمى أحدهما نجاحًا والآخر فشلًا. فرمي عملة مرة واحدة تجربة بيرنولي (النجاح: صورة والفشل: كتابة)، ورمي حجر نرد مرة واحدة يمكن عده تجربة بيرنولي إذا عرّفنا النجاح بظهور عدد أكبر من 3 مثلًا والفشل بظهور أي عدد آخر. نرمز لاحتمال النجاح بـ $p$ ولاحتمال الفشل بـ $q = 1 - p$ .

ثانيًا: التوزيع الهندسي

التجربة الهندسية هي تكرار تجربة بيرنولي حتى الوصول إلى أول نجاح. شروطها:

محاولات متكررة ومستقلة.
لكل محاولة ناتجان فقط (نجاح أو فشل).
احتمال النجاح $p$ ثابت في كل محاولة.
تتوقف التجربة عند أول نجاح.

المتغير $X$ هو رقم المحاولة التي يحدث فيها أول نجاح، ونكتب $X \sim \text{هندسي}(p)$ . ودالة توزيعه:

P(X = n) = p\,(1 - p)^{\,n-1},\qquad n = 1, 2, 3, \dots

أي $n - 1$ فشلًا متتاليًا ثم نجاح. ومنها: $P(X > k) = (1 - p)^k$ (أي $k$ فشلًا متتاليًا على الأقل).

المتوسط والتباين:

\mu = \frac{1}{p},\qquad \sigma^2 = \frac{1 - p}{p^2},\qquad \sigma = \sqrt{\sigma^2}

(وفي بعض المراجع يُكتب المتوسط $E(X)$ والتباين $Var(X)$ بدل $\mu$ و $\sigma^2$ ، والمعنى واحد.)

مثال 1: رُمي حجر نرد حتى ظهر 6 لأول مرة. $p = \frac{1}{6}$ . احتمال أن يظهر في الرمية الرابعة: $\left(\frac{5}{6}\right)^3 \times \frac{1}{6} = \frac{125}{1296} \approx 0.0965$ . ومتوسط عدد الرميات $= \frac{1}{p} = 6$ رميات، وتباينه $= \frac{5/6}{1/36} = 30$ .

مثال 2: إذا كان $X \sim \text{هندسي}(0.4)$ فإن:

$P(X = 2) = 0.4 \times 0.6 = 0.24$
$P(X \le 3) = 0.4 + 0.24 + 0.4 \times 0.6^2 = 0.4 + 0.24 + 0.144 = 0.784$
$P(X > 3) = 0.6^3 = 0.216$ ، وتحقق: $0.784 + 0.216 = 1$ ✓

ثالثًا: توزيع ذي الحدين

تجربة ذات الحدين تكرار تجربة بيرنولي عددًا محددًا $n$ من المرات. شروطها:

محاولات متكررة ومستقلة.
لكل محاولة ناتجان فقط (نجاح أو فشل).
احتمال النجاح $p$ ثابت في كل محاولة.
عدد المحاولات $n$ محدد مسبقًا.

المتغير $X$ هو عدد مرات النجاح في $n$ محاولة، ونكتب $X \sim B(n, p)$ . ودالته:

P(X = r) = \binom{n}{r}\, p^{\,r}\,(1 - p)^{\,n-r},\qquad r = 0, 1, 2, \dots, n

حيث $\binom{n}{r} = \frac{n!}{r!\,(n-r)!}$ هو عدد طرق اختيار مواضع $r$ نجاحًا من $n$ محاولة. والمتوسط والتباين:

\mu = n\,p,\qquad \sigma^2 = n\,p\,(1 - p),\qquad \sigma = \sqrt{\sigma^2}

مثال 3 (عملة): رُميت عملة 5 مرات و $X$ عدد الصور: $X \sim B\left(5, \frac{1}{2}\right)$ .

P(X = 3) = \binom{5}{3}\left(\tfrac{1}{2}\right)^3 \left(\tfrac{1}{2}\right)^2 = \frac{10}{32} = 0.3125,\qquad \mu = 2.5,\qquad \sigma^2 = 1.25

مثال 4 (اختبار تخمين): اختبار من 10 أسئلة لكل منها 4 بدائل واحد منها صحيح، وأجاب طالب بالتخمين. $X \sim B(10, 0.25)$ :

$P(X = 3) = \binom{10}{3}(0.25)^3(0.75)^7 = 120 \times 0.015625 \times 0.13348 \approx 0.2503$
احتمال أن يصيب إجابة واحدة على الأقل: $1 - P(X = 0) = 1 - 0.75^{10} \approx 1 - 0.0563 = 0.9437$
متوسط ما يصيبه $= 10 \times 0.25 = 2.5$ إجابة.

مثال 5 (مباريات): فريق احتمال فوزه في أي مباراة $0.6$ ولعب 5 مباريات مستقلة. $X \sim B(5, 0.6)$ :

$P(X = 4) = 5 \times 0.6^4 \times 0.4 = 0.2592$
$P(X \ge 4) = 0.2592 + 0.6^5 = 0.2592 + 0.07776 = 0.33696$
$\mu = 5 \times 0.6 = 3$ مباريات، و $\sigma^2 = 5 \times 0.6 \times 0.4 = 1.2$ .

ملاحظات مهمة

الفرق الجوهري: في الهندسي نتوقف عند أول نجاح وعدد المحاولات غير محدد مسبقًا؛ وفي ذي الحدين عدد المحاولات ثابت نحصي فيه مرات النجاح.
يجب أن تكون المحاولات مستقلة و $p$ ثابتًا؛ فالسحب دون إرجاع من مجتمع صغير لا يحقق ذلك.
في الهندسي أقل قيمة هي $n = 1$ ، وفي ذي الحدين تبدأ القيم من $r = 0$ .
«على الأقل» في ذي الحدين تُحسب غالبًا بالمكمل: $P(X \ge 1) = 1 - P(X = 0)$ .
تحقق دائمًا أن مجموع احتمالات ذي الحدين $\sum_{r=0}^{n} P(X = r) = 1$ .

المفاهيم الأساسية

تجربة بيرنولي: تجربة لها ناتجان فقط (نجاح أو فشل).
التوزيع الهندسي: رقم المحاولة التي يظهر فيها أول نجاح؛ $\mu = \frac{1}{p}$ .
توزيع ذي الحدين: عدد مرات النجاح في $n$ محاولة مستقلة؛ $\mu = np$ .
$p$ و $q$ : احتمالا النجاح والفشل، $q = 1 - p$ .

ملخص الدرس

تجربة بيرنولي لها ناتجان: نجاح باحتمال $p$ وفشل باحتمال $1 - p$ . إذا كررناها حتى أول نجاح فالمتغير هندسي $P(X = n) = p(1-p)^{n-1}$ ومتوسطه $\frac{1}{p}$ وتباينه $\frac{1-p}{p^2}$ . وإذا كررناها $n$ مرة ثابتة وعددنا النجاحات فالمتغير ذو حدين $P(X = r) = \binom{n}{r}p^r(1-p)^{n-r}$ ومتوسطه $np$ وتباينه $np(1-p)$ .

أسئلة للتدريب

$X \sim \text{هندسي}(0.25)$ : أوجد $P(X = 3)$ و $P(X > 2)$ ومتوسط $X$ .
رُميت عملة حتى ظهرت صورة لأول مرة: ما احتمال أن يحدث ذلك في الرمية الثالثة؟
$X \sim B(6, 0.5)$ : أوجد $P(X = 2)$ والمتوسط والتباين.
احتمال أن يصيب رامٍ هدفًا $0.7$ في كل محاولة؛ ما احتمال أن يصيبه مرتين بالضبط في 3 محاولات؟
وضّح بمثالين الفرق بين مسألة تستخدم التوزيع الهندسي ومسألة تستخدم توزيع ذي الحدين.
$X \sim B(n, p)$ متوسطه 6 وتباينه 2.4؛ أوجد $n$ و $p$ .