ملخص البعد بين نقطتين — ثالثة إعدادي

مقدمة

الوحدة: الوحدة الخامسة: الهندسة التحليلية

يمكن تمثيل المواقع على المستوى الإحداثي بأزواج مرتبة، ثم حساب المسافة المستقيمة بين أي نقطتين دون قياسها على رسم. يعتمد ذلك على تكوين مثلث قائم واستخدام نظرية فيثاغورس.

أهداف التعلم

أن يشتق الطالب قانون المسافة بين نقطتين باستخدام نظرية فيثاغورس.
أن يحسب الطالب طول البعد بين نقطتين معلومتي الإحداثيات.
أن يستخدم الطالب قانون البعد للتحقق من نوع مثلث أو شكل رباعي (متساوي الأضلاع، قائم الزاوية، …).
أن يوجد الطالب إحداثي نقطة مجهولة باستخدام شرط على المسافة.

شرح الدرس

اشتقاق قانون البعد بين نقطتين

لتكن $A(x_1, y_1)$ و $B(x_2, y_2)$ نقطتين في المستوى الإحداثي. لإيجاد طول $AB$ ، نرسم من $A$ خطًا أفقيًا ومن $B$ خطًا رأسيًا يتقاطعان في نقطة $C(x_2, y_1)$ ، فيتكون مثلث $ABC$ قائم الزاوية في $C$ ، حيث:

AC = |x_2 - x_1| \qquad , \qquad BC = |y_2 - y_1|

وبتطبيق نظرية فيثاغورس على المثلث القائم $ABC$ :

AB^2 = AC^2 + BC^2 = (x_2-x_1)^2 + (y_2-y_1)^2

وبأخذ الجذر التربيعي الموجب، نحصل على قانون البعد بين نقطتين:

AB = \sqrt{(x_2-x_1)^2 + (y_2-y_1)^2}

النقطتان A(x₁, y₁) وB(x₂, y₂) والنقطة C(x₂, y₁) تكوّن مثلثًا قائمًا في C فيه AC = |x₂ − x₁| وBC = |y₂ − y₁|، والوتر AB هو البعد المطلوب

ملاحظات على القانون

لا يهم أي النقطتين تُؤخذ أولًا في الطرح، لأن الفرق يُربَّع فتصبح النتيجة موجبة دائمًا: $(x_2-x_1)^2 = (x_1-x_2)^2$ .
إذا تساوت الإحداثيات السينية ( $x_1=x_2$ )، تكون القطعة رأسية وطولها $|y_2-y_1|$ .
إذا تساوت الإحداثيات الصادية ( $y_1=y_2$ )، تكون القطعة أفقية وطولها $|x_2-x_1|$ .

تطبيقات على قانون البعد

يُستخدم قانون البعد بين نقطتين في:

حساب أطوال أضلاع المضلعات المرسومة على المستوى الإحداثي.
التحقق من نوع المثلث: بحساب أطوال الأضلاع الثلاثة ومقارنتها (متساوي الأضلاع، متساوي الساقين، مختلف الأضلاع)، أو التحقق من نظرية فيثاغورس لإثبات أنه قائم الزاوية.
التحقق من نوع الشكل الرباعي: مثل التأكد من تساوي الأضلاع المتقابلة (متوازي أضلاع) أو تساوي جميع الأضلاع (معين أو مربع).
إيجاد إحداثي نقطة مجهولة إذا عُلم بعدها عن نقطة أخرى.

تعريفات

البعد بين نقطتين: طول القطعة المستقيمة الواصلة بين النقطتين.
فرق الإحداثيين السينيين: الفرق بين قيمتي $x$ للنقطتين.
فرق الإحداثيين الصاديين: الفرق بين قيمتي $y$ للنقطتين.

أمثلة وتطبيقات

مثال 1: أوجد طول $AB$ حيث $A(1,2)$ ، $B(4,6)$ .

الحل:

AB = \sqrt{(4-1)^2+(6-2)^2} = \sqrt{3^2+4^2} = \sqrt{9+16} = \sqrt{25} = 5

مثال 2: أثبت أن المثلث $ABC$ حيث $A(0,0)$ ، $B(3,0)$ ، $C(0,4)$ قائم الزاوية.

الحل:

AB = \sqrt{(3-0)^2+(0-0)^2} = \sqrt{9} = 3

AC = \sqrt{(0-0)^2+(4-0)^2} = \sqrt{16} = 4

BC = \sqrt{(0-3)^2+(4-0)^2} = \sqrt{9+16} = \sqrt{25} = 5

بما أن $AB^2 + AC^2 = 9+16=25 = BC^2$ ، فإن المثلث قائم الزاوية في $A$ (بعكس نظرية فيثاغورس).

مثال 3: إذا كان بعد النقطة $A(x, 3)$ عن النقطة $B(2,-1)$ يساوي $5$ ، أوجد قيمتي $x$ الممكنتين.

الحل:

5 = \sqrt{(x-2)^2+(3-(-1))^2} = \sqrt{(x-2)^2+16}

بتربيع الطرفين: $25 = (x-2)^2 + 16 \implies (x-2)^2 = 9 \implies x-2 = \pm3$

x = 5 \quad \text{أو} \quad x = -1

مثال 4: أثبت أن المثلث الذي رؤوسه $A(1, 1)$ و $B(4, 5)$ و $C(-2, 5)$ متساوي الساقين.

الحل:

AB = \sqrt{(4-1)^2 + (5-1)^2} = \sqrt{9 + 16} = 5

AC = \sqrt{(-2-1)^2 + (5-1)^2} = \sqrt{9 + 16} = 5

BC = \sqrt{(-2-4)^2 + (5-5)^2} = \sqrt{36} = 6

بما أن $AB = AC = 5$ ، فالمثلث متساوي الساقين وقاعدته $BC$ .

ملاحظات مهمة

من الأخطاء الشائعة طرح الإحداثي السيني لنقطة من الإحداثي الصادي لنقطة أخرى؛ اطرح دائمًا الإحداثيين من النوع نفسه.
البعد بين نقطتين لا يكون سالبًا، لأننا نأخذ الجذر التربيعي الموجب.

المفاهيم الأساسية

طول $AB$ حيث $A(x_1,y_1)$ ، $B(x_2,y_2)$ هو: $AB = \sqrt{(x_2-x_1)^2+(y_2-y_1)^2}$ .
القانون مبني أساسًا على تطبيق نظرية فيثاغورس في مثلث قائم الزاوية وهمي.
ترتيب النقطتين في الطرح لا يؤثر على الناتج بسبب التربيع.
يُستخدم القانون لحساب أطوال الأضلاع والتحقق من أنواع المثلثات والأشكال الرباعية.

ملخص الدرس

يُشتق قانون البعد بين نقطتين من نظرية فيثاغورس؛ ففرق الإحداثيين السينيين وفرق الإحداثيين الصاديين يمثلان ضلعي مثلث قائم. يتيح القانون حساب الأطوال والتحقق من بعض خصائص المثلثات والأشكال على المستوى الإحداثي.

أسئلة للتدريب

أوجد طول $MN$ حيث $M(-2,3)$ ، $N(2,0)$ .
بيّن أن المثلث الذي رؤوسه $A(1,1)$ ، $B(4,1)$ ، $C(4,5)$ قائم الزاوية، ثم أوجد مساحته.
تحقق مما إذا كانت النقاط $A(0,0)$ ، $B(2,2)$ ، $C(4,0)$ ، $D(2,-2)$ رؤوس معين (تساوي جميع الأضلاع).
إذا كان بعد النقطة $(k, 4)$ عن نقطة الأصل يساوي $5$ ، أوجد قيمتي $k$ الممكنتين.

مقدمة

أهداف التعلم

شرح الدرس

اشتقاق قانون البعد بين نقطتين

ملاحظات على القانون

تطبيقات على قانون البعد

تعريفات

أمثلة وتطبيقات

ملاحظات مهمة

المفاهيم الأساسية

ملخص الدرس

أسئلة للتدريب

دروس ذات صلة