ملخص معادلة الخط المستقيم — ثالثة إعدادي

مقدمة

الوحدة: الوحدة 3: الهندسة
الدرس: 3-7

كل مستقيم غير رأسي في المستوى الإحداثي يمكن وصفه بمعادلة تربط $y$ بـ $x$ . إذا عرفنا ميله ونقطة واحدة عليه أمكننا كتابة معادلته، ومنها نعرف هل تقع نقطة ما عليه أم لا.

أهداف التعلم

أن تكتب معادلة المستقيم على الصورة $y = mx + c$ .
أن تستخرج الميل والجزء المقطوع من محور الصادات من معادلة معطاة.
أن تكتب معادلة مستقيم بمعلومية نقطة وميل، أو بمعلومية نقطتين.
أن تكتب معادلة مستقيم يوازي أو يعامد مستقيمًا معلومًا.

شرح الدرس

الصورة $y = mx + c$

معادلة المستقيم الذي ميله $m$ ويقطع من محور الصادات جزءًا طوله $c$ (أي يمر بالنقطة $(0, c)$ ) هي:

y = mx + c

مثال: $y = 2x - 3$ ميله $2$ ويقطع محور الصادات عند $(0, -3)$ .

إذا كانت المعادلة على الصورة العامة $ax + by + c = 0$ حيث $b \neq 0$ فإن الميل $m = -\frac{a}{b}$ ، ونجد الجزء المقطوع بوضع $x = 0$ .

المستقيم y = 2x − 3 على المستوى الإحداثي: ميله 2 لأن كل خطوة أفقية مقدارها 1 يقابلها صعود 2، ويقطع محور الصادات عند النقطة (0, −3)

حالات خاصة

المستقيم الأفقي المار بالنقطة $(0, k)$ : $y = k$ .
المستقيم الرأسي المار بالنقطة $(h, 0)$ : $x = h$ .
المستقيم المار بنقطة الأصل: $y = mx$ .

معادلة المستقيم بمعلومية ميله ونقطة عليه

إذا كان الميل $m$ والنقطة $(x_1, y_1)$ فإن:

y - y_1 = m(x - x_1)

ثم نبسطها إلى الصورة $y = mx + c$ إذا طُلب.

معادلة المستقيم بمعلومية نقطتين

نحسب الميل من النقطتين أولًا، ثم نستخدم إحداهما في الصورة السابقة.

أمثلة وتطبيقات

مثال 1: أوجد الميل والجزء المقطوع من محور الصادات للمستقيم $3x + 2y - 6 = 0$ .

الحل: $2y = -3x + 6$ ، إذن $y = -\frac{3}{2}x + 3$ . الميل $-\frac{3}{2}$ والجزء المقطوع $3$ .

مثال 2: أوجد معادلة المستقيم الذي ميله $4$ ويمر بالنقطة $(2, 5)$ .

الحل: $y - 5 = 4(x - 2)$ ، أي $y = 4x - 3$ .

مثال 3: أوجد معادلة المستقيم المار بالنقطتين $(1, 3)$ و $(3, 7)$ .

الحل: $m = \frac{7 - 3}{3 - 1} = 2$ . $y - 3 = 2(x - 1)$ ، أي $y = 2x + 1$ . تحقق بالنقطة الثانية: $2(3) + 1 = 7$ ✓.

مثال 4: أوجد معادلة المستقيم المار بالنقطة $(4, -1)$ وعمودي على المستقيم $y = 2x + 5$ .

الحل: ميل المعطى $2$ ، فميل العمودي $-\frac{1}{2}$ . $y + 1 = -\frac{1}{2}(x - 4)$ ، أي $y = -\frac{1}{2}x + 1$ .

مثال 5: هل النقطة $(3, 4)$ تقع على المستقيم $y = 2x - 2$ ؟

الحل: $2(3) - 2 = 4$ ، إذن نعم تقع عليه.

ملاحظات مهمة

في $y = mx + c$ يجب أن يكون معامل $y$ هو $1$ قبل قراءة الميل.
$c$ قد يكون سالبًا، وحينئذ يقطع المستقيم الجزء السالب من محور الصادات.
المستقيم الرأسي لا يُكتب على الصورة $y = mx + c$ .

المفاهيم الأساسية

$y = mx + c$ : الميل $m$ والجزء المقطوع من محور الصادات $c$ .
نقطة وميل: $y - y_1 = m(x - x_1)$ .
من الصورة العامة $ax + by + c = 0$ : $m = -\frac{a}{b}$ .
الموازي له الميل نفسه، والعمودي ميله سالب المقلوب.

ملخص الدرس

نكتب معادلة المستقيم بالصورة $y = mx + c$ متى عرفنا ميله والجزء المقطوع من محور الصادات، أو بالصورة $y - y_1 = m(x - x_1)$ متى عرفنا نقطة عليه وميله، ونحسب الميل أولًا إذا أُعطينا نقطتين. ونوظف شرطي التوازي والتعامد لكتابة معادلات المستقيمات الموازية والعمودية.

أسئلة للتدريب

أوجد الميل والجزء المقطوع من محور الصادات للمستقيم $4x - y + 7 = 0$ .
اكتب معادلة المستقيم المار بالنقطتين $(-1, 2)$ و $(2, -4)$ .
اكتب معادلة المستقيم المار بالنقطة $(0, 3)$ ويوازي المستقيم $y = -x + 8$ .
أوجد قيمة $a$ إذا كانت النقطة $(a, 5)$ تقع على المستقيم $y = 3x - 1$ .